MediuProgresii GeometriceClasa 9

Problemă rezolvată de Progresii Geometrice

MediuProgresii GeometricePolinoame
Determinați polinomul de gradul al treilea cu coeficienți reali ale cărui rădăcini sunt în progresie geometrică, știind că suma rădăcinilor este 7, suma pătratelor rădăcinilor este 21, și produsul rădăcinilor este 8.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Notăm rădăcinile polinomului ca a,ar,ar2a, ar, ar^2 cu a,r∈Ra,r \in \mathbb{R}, r≠0r \neq 0.
22 puncte
Folosind relațiile lui Vieta, avem: suma S1=a(1+r+r2)=7S_1 = a(1+r+r^2) = 7, suma pătratelor S2=a2(1+r2+r4)=21S_2 = a^2(1+r^2+r^4) = 21, produsul P=a3r3=8P = a^3 r^3 = 8.
33 puncte
Din P=8P=8, obținem ar=2a r = 2, deci a=2ra = \frac{2}{r}. Înlocuim în S1S_1: 2r(1+r+r2)=7\frac{2}{r}(1+r+r^2) = 7, de unde 2(1+r+r2)=7r2(1+r+r^2) = 7r, adică 2r2−5r+2=02r^2 -5r +2 = 0.
42 puncte
Rezolvăm ecuația: 2r2−5r+2=02r^2 -5r +2 = 0. Discriminantul Δ=25−16=9\Delta = 25 - 16 = 9, deci r=5±34r = \frac{5 \pm 3}{4}, adică r=2r = 2 sau r=12r = \frac{1}{2}.
51 punct
Pentru r=2r=2, avem a=1a=1, deci rădăcinile sunt 1,2,4. Pentru r=12r=\frac{1}{2}, avem a=4a=4, deci rădăcinile sunt 4,2,1, care sunt aceleași. Verificăm suma pătratelor: 12+22+42=1+4+16=211^2+2^2+4^2=1+4+16=21, corect. Polinomul este P(X)=(X−1)(X−2)(X−4)=X3−7X2+14X−8P(X) = (X-1)(X-2)(X-4) = X^3 -7X^2 +14X -8.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Progresii Geometrice

Mediu#1Progresii GeometriceMatematică financiară
Un împrumut de 50.000 lei este contractat la o dobândă anuală de 6%, compusă anual. Împrumutul trebuie rambursat în 5 ani prin plăți anuale egale. a) Calculați valoarea plății anuale. b) Întocmiți un tabel de amortizare care să indice pentru fiecare an: soldul inițial, dobânda, rambursarea principalului și soldul final.
Ușor#2Progresii GeometriceLogaritmiMatematică financiară
O persoană depune 5000 de lei într-un cont bancar care oferă o dobândă anuală de 5%, compusă anual. După câți ani suma va depăși 7000 de lei? (Se consideră log⁡1.05≈0.0212\log 1.05 \approx 0.0212 și log⁡1.4≈0.1461\log 1.4 \approx 0.1461)
Mediu#3Progresii GeometriceLogaritmiMatematică aplicată
La deschiderea unui lac de agrement, numărul de vizitatori în prima zi a fost de 500. Se estimează că numărul de vizitatori crește cu 10% în fiecare zi față de ziua precedentă. Determinați după câte zile numărul total de vizitatori depășește 10000.
Mediu#4Progresii GeometriceNumere ComplexeȘiruri de numere reale
Fie z=(0,1)∈Cz = (0,1) \in \mathbb{C}. Exprimați ∑k=0nzk\sum_{k=0}^{n} z^k în funcție de întregul pozitiv nn.
Vezi toate problemele de Progresii Geometrice →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Progresii Geometrice cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.