MediuMatriciClasa 12

Problemă rezolvată de Matrici

MediuMatriciInele și corpuriDeterminanți
Considerați mulțimea M2(R)M_2(\mathbb{R}) a matricelor pătratice de ordinul 2 cu elemente reale. Definim adunarea și înmulțirea matricelor în mod obișnuit. Demonstrați că M2(R)M_2(\mathbb{R}) este un inel. Este acesta un corp? Argumentați.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Arătați că adunarea matricelor este închisă pe M2(R)M_2(\mathbb{R}), asociativă, comutativă, are element neutru matricea zero (0000)\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, și fiecare matrice are opusă (opusa lui AA este −A-A).
23 puncte
Arătați că înmulțirea matricelor este închisă pe M2(R)M_2(\mathbb{R}), asociativă, și distributivă față de adunare. Elementul neutru pentru înmulțire este matricea identitate I2=(1001)I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.
32 puncte
Discutați proprietățile de corp: Pentru ca M2(R)M_2(\mathbb{R}) să fie corp, fiecare element nenul trebuie să aibă invers multiplicativ. În M2(R)M_2(\mathbb{R}), nu toate matricele nenule sunt inversabile; de exemplu, matricea A=(1000)A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} este nenulă, dar determinantul ei este 00, deci nu are invers.
42 puncte
Concluzie: M2(R)M_2(\mathbb{R}) este un inel (necomutativ, deoarece înmulțirea matricelor nu este comutativă), dar nu este un corp deoarece există elemente nenule care nu sunt inversabile.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Matrici

Mediu#1MatriciInele și corpuri
Fie mulțimea M={aI2+bJ∣a,b∈R}M = \{ aI_2 + bJ \mid a, b \in \mathbb{R} \} unde I2I_2 este matricea identitate de ordin 2 și J=(01−10)J = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}. Arătați că MM cu adunarea și înmulțirea matricelor formează un inel comutativ. Determinați dacă este un corp și, dacă nu, găsiți elementele inversabile.
Mediu#2MatriciInele și corpuri
Fie M={(ab0c)∣a,b,c∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix} \mid a, b, c \in \mathbb{R} \right\} mulțimea matricelor triunghiulare superioare de ordinul 2. Se definește operația de adunare ca adunarea obișnuită a matricelor și operația de înmulțire ca înmulțirea obișnuită a matricelor. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel. Dacă da, este el un corp? Justificați răspunsul.
Mediu#3MatriciInele și corpuri
Fie mulțimea M={(ab−ba)∣a,b∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix} \mid a, b \in \mathbb{R} \right\}. Arătați că (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un corp, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea matricelor. Apoi, rezolvați în acest corp ecuația X2=−IX^2 = -I, unde II este matricea identitate.
Mediu#4MatriciSisteme de Ecuații LiniareMatematică aplicată
Într-o uzină, se fabrică trei tipuri de piese: P1, P2 și P3. Timpii necesari (în minute) pentru fiecare piesă pe trei utilaje diferite sunt dați de matricea A=(5867496105)A = \begin{pmatrix} 5 & 8 & 6 \\ 7 & 4 & 9 \\ 6 & 10 & 5 \end{pmatrix}, unde rândul ii corespunde utilajului UiU_i și coloana jj piesei PjP_j. Dacă utilajele sunt disponibile timp de 120, 150 și 180 de minute respectiv, și se dorește utilizarea integrală a timpului, determinați câte piese de fiecare tip pot fi produse prin rezolvarea sistemului liniar folosind metoda matriceală. (Presupunem că numărul de piese este număr întreg pozitiv.)
Vezi toate problemele de Matrici →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Matrici cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.