MediuProgresii GeometriceClasa 9

Problemă rezolvată de Progresii Geometrice

MediuProgresii GeometriceAlgebră și Calcule cu Numere RealeSisteme de Ecuații Neliniare
Fie (an)n≥1(a_n)_{n \ge 1} o progresie geometrică de numere reale pozitive cu rația qq. Știind că a1+a2+a3=21a_1 + a_2 + a_3 = 21 și a12+a22+a32=189a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 = 189, determinați a1a_1 și qq.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Scriem termenii progresiei: a1=xa_1 = x, a2=xqa_2 = xq, a3=xq2a_3 = xq^2, unde x>0x > 0 și q>0q > 0.\n
23 puncte
Din condițiile date, obținem ecuațiile: x(1+q+q2)=21x(1 + q + q^2) = 21 și x2(1+q2+q4)=189x^2(1 + q^2 + q^4) = 189.\n
32 puncte
Împărțim a doua ecuație la pătratul primei: 1+q2+q4(1+q+q2)2=189441=37\frac{1 + q^2 + q^4}{(1 + q + q^2)^2} = \frac{189}{441} = \frac{3}{7}.\n
42 puncte
Rezolvăm ecuația. Notăm t=q+1qt = q + \frac{1}{q} pentru q>0q > 0. Atunci 1+q2+q4=q2(t2−1)1 + q^2 + q^4 = q^2(t^2 - 1) și 1+q+q2=q(t+1)1 + q + q^2 = q(t + 1). Substituind, obținem t2−1(t+1)2=37\frac{t^2 - 1}{(t + 1)^2} = \frac{3}{7}, care conduce la t=52t = \frac{5}{2}. Așadar, q+1q=52q + \frac{1}{q} = \frac{5}{2}, adică 2q2−5q+2=02q^2 - 5q + 2 = 0, cu soluțiile q=2q = 2 sau q=12q = \frac{1}{2}. Din x(1+q+q2)=21x(1 + q + q^2) = 21, pentru q=2q=2, x=3x=3, iar pentru q=12q=\frac{1}{2}, x=12x=12.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Progresii Geometrice

Mediu#1Progresii GeometriceMatematică financiară
Un împrumut de 50.000 lei este contractat la o dobândă anuală de 6%, compusă anual. Împrumutul trebuie rambursat în 5 ani prin plăți anuale egale. a) Calculați valoarea plății anuale. b) Întocmiți un tabel de amortizare care să indice pentru fiecare an: soldul inițial, dobânda, rambursarea principalului și soldul final.
Ușor#2Progresii GeometriceLogaritmiMatematică financiară
O persoană depune 5000 de lei într-un cont bancar care oferă o dobândă anuală de 5%, compusă anual. După câți ani suma va depăși 7000 de lei? (Se consideră log⁡1.05≈0.0212\log 1.05 \approx 0.0212 și log⁡1.4≈0.1461\log 1.4 \approx 0.1461)
Mediu#3Progresii GeometriceLogaritmiMatematică aplicată
La deschiderea unui lac de agrement, numărul de vizitatori în prima zi a fost de 500. Se estimează că numărul de vizitatori crește cu 10% în fiecare zi față de ziua precedentă. Determinați după câte zile numărul total de vizitatori depășește 10000.
Mediu#4Progresii GeometriceNumere ComplexeȘiruri de numere reale
Fie z=(0,1)∈Cz = (0,1) \in \mathbb{C}. Exprimați ∑k=0nzk\sum_{k=0}^{n} z^k în funcție de întregul pozitiv nn.
Vezi toate problemele de Progresii Geometrice →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Progresii Geometrice cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.