MediuIntegrale definiteClasa 12

Problemă rezolvată de Integrale definite

MediuIntegrale definiteArii și volumeStudiul funcțiilor
Calculează aria regiunii delimitate de graficele funcțiilor f(x)=x3−3xf(x) = x^3 - 3x și g(x)=xg(x) = x.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Găsește punctele de intersecție ale graficelor rezolvând ecuația x3−3x=xx^3 - 3x = x, adică x3−4x=0x^3 - 4x = 0, de unde x(x2−4)=0x(x^2 - 4) = 0, deci x=0x = 0, x=−2x = -2, x=2x = 2.
23 puncte
Determină care funcție este mai mare pe intervalele [−2,0][-2,0] și [0,2][0,2]. Pe [−2,0][-2,0], f(x)≥g(x)f(x) \geq g(x) (verifică pentru x=−1x=-1: f(−1)=2f(-1)=2, g(−1)=−1g(-1)=-1). Pe [0,2][0,2], g(x)≥f(x)g(x) \geq f(x) (verifică pentru x=1x=1: g(1)=1g(1)=1, f(1)=−2f(1)=-2).
33 puncte
Scrie aria ca sumă de integrale definite: ∫−20(f(x)−g(x)) dx+∫02(g(x)−f(x)) dx=∫−20(x3−4x) dx+∫02(4x−x3) dx\int_{-2}^{0} (f(x) - g(x)) \, dx + \int_{0}^{2} (g(x) - f(x)) \, dx = \int_{-2}^{0} (x^3 - 4x) \, dx + \int_{0}^{2} (4x - x^3) \, dx. Calculează primitivele: ∫(x3−4x)dx=x44−2x2\int (x^3 - 4x) dx = \frac{x^4}{4} - 2x^2, deci primul integral este [x44−2x2]−20=0−(164−8)=4\left[ \frac{x^4}{4} - 2x^2 \right]_{-2}^{0} = 0 - \left( \frac{16}{4} - 8 \right) = 4. Al doilea: ∫(4x−x3)dx=2x2−x44\int (4x - x^3) dx = 2x^2 - \frac{x^4}{4}, evaluat de la 0 la 2: (8−4)−0=4\left( 8 - 4 \right) - 0 = 4.
41 punct
Aria totală este 4+4=84 + 4 = 8 unități pătrate.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Integrale definite

Mediu#1Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Calculați aria suprafeței plane mărginite de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+2x+3y = -x^2 + 2x + 3.
Mediu#2Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Un teren are forma mărginită de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+6x−5y = -x^2 + 6x - 5. Calculați aria acestui teren.
Ușor#3Integrale definiteMatematică aplicatăPrimitive
O companie estimează că profitul său marginal (în mii de euro) este dat de funcția P′(x)=10−0.1xP'(x) = 10 - 0.1x, unde xx este numărul de unități produse. Dacă profitul total este zero atunci când nu se produce nimic, determinați profitul total pentru o producție de 100100 de unități.
Mediu#4Integrale definiteArii și volume
Calculați aria domeniului plan mărginit de curbele y=x2y = x^2, y=2x+3y = 2x + 3, axa Oy și dreapta x=2x = 2.
Vezi toate problemele de Integrale definite →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Integrale definite cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.