MediuMatriciClasa 11

Problemă rezolvată de Matrici

MediuMatriciDeterminanțiSisteme de Ecuații Liniare
Fie matricele A=(12−13)A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}, B=(2−101)B = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} și C=(312−2)C = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & -2 \end{pmatrix}. Calculați D=A2−2B⋅CTD = A^2 - 2B \cdot C^T, unde CTC^T este transpusa lui CC. Apoi, determinați det⁡(D)\det(D) și rezolvați sistemul liniar D⋅(xy)=(5−1)D \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ -1 \end{pmatrix}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Calculează A2=(12−13)2=(−18−47)A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}^2 = \begin{pmatrix} -1 & 8 \\ -4 & 7 \end{pmatrix}, CT=(321−2)C^T = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}, și 2B⋅CT=2⋅(2−101)⋅(321−2)=(10122−4)2B \cdot C^T = 2 \cdot \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 & 12 \\ 2 & -4 \end{pmatrix}. Atunci D=(−18−47)−(10122−4)=(−11−4−611)D = \begin{pmatrix} -1 & 8 \\ -4 & 7 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 10 & 12 \\ 2 & -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -11 & -4 \\ -6 & 11 \end{pmatrix}.
23 puncte
det⁡(D)=(−11)⋅11−(−4)⋅(−6)=−121−24=−145\det(D) = (-11) \cdot 11 - (-4) \cdot (-6) = -121 - 24 = -145.
33 puncte
Sistemul (−11−4−611)⋅(xy)=(5−1)\begin{pmatrix} -11 & -4 \\ -6 & 11 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ -1 \end{pmatrix} se rezolvă prin metoda inversei sau Cramer. Soluția: x=det⁡(5−4−111)det⁡(D)=55−4−145=51−145=−51145x = \frac{\det\begin{pmatrix} 5 & -4 \\ -1 & 11 \end{pmatrix}}{\det(D)} = \frac{55 - 4}{-145} = \frac{51}{-145} = -\frac{51}{145}, y=det⁡(−115−6−1)det⁡(D)=11+30−145=41−145=−41145y = \frac{\det\begin{pmatrix} -11 & 5 \\ -6 & -1 \end{pmatrix}}{\det(D)} = \frac{11 + 30}{-145} = \frac{41}{-145} = -\frac{41}{145}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Matrici

Mediu#1MatriciInele și corpuri
Fie mulțimea M={aI2+bJ∣a,b∈R}M = \{ aI_2 + bJ \mid a, b \in \mathbb{R} \} unde I2I_2 este matricea identitate de ordin 2 și J=(01−10)J = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}. Arătați că MM cu adunarea și înmulțirea matricelor formează un inel comutativ. Determinați dacă este un corp și, dacă nu, găsiți elementele inversabile.
Mediu#2MatriciInele și corpuri
Fie M={(ab0c)∣a,b,c∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix} \mid a, b, c \in \mathbb{R} \right\} mulțimea matricelor triunghiulare superioare de ordinul 2. Se definește operația de adunare ca adunarea obișnuită a matricelor și operația de înmulțire ca înmulțirea obișnuită a matricelor. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel. Dacă da, este el un corp? Justificați răspunsul.
Mediu#3MatriciInele și corpuri
Fie mulțimea M={(ab−ba)∣a,b∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix} \mid a, b \in \mathbb{R} \right\}. Arătați că (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un corp, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea matricelor. Apoi, rezolvați în acest corp ecuația X2=−IX^2 = -I, unde II este matricea identitate.
Mediu#4MatriciSisteme de Ecuații LiniareMatematică aplicată
Într-o uzină, se fabrică trei tipuri de piese: P1, P2 și P3. Timpii necesari (în minute) pentru fiecare piesă pe trei utilaje diferite sunt dați de matricea A=(5867496105)A = \begin{pmatrix} 5 & 8 & 6 \\ 7 & 4 & 9 \\ 6 & 10 & 5 \end{pmatrix}, unde rândul ii corespunde utilajului UiU_i și coloana jj piesei PjP_j. Dacă utilajele sunt disponibile timp de 120, 150 și 180 de minute respectiv, și se dorește utilizarea integrală a timpului, determinați câte piese de fiecare tip pot fi produse prin rezolvarea sistemului liniar folosind metoda matriceală. (Presupunem că numărul de piese este număr întreg pozitiv.)
Vezi toate problemele de Matrici →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Matrici cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.