MediuIntegrale definiteClasa 12

Problemă rezolvată de Integrale definite

MediuIntegrale definiteArii și volumeFuncția de gradul I
Fie funcția f:[0,1]→Rf: [0,1] \to \mathbb{R}, f(x)=ax+bx2+1f(x) = \frac{ax+b}{x^2+1}, unde a,b∈Ra, b \in \mathbb{R}. Se știe că ∫01f(x)dx=π4+12ln⁡2\int_0^1 f(x) dx = \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2} \ln 2 și f(1)=1f(1) = 1. a) Determinați aa și bb. b) Calculați aria domeniului mărginit de graficul funcției ff, axa Ox și dreptele x=0x=0 și x=1x=1.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Din condiția f(1)=1f(1)=1: a⋅1+b12+1=1⇒a+b=2\frac{a \cdot 1 + b}{1^2+1} = 1 \Rightarrow a+b=2.
22 puncte
Calculăm integrala: ∫01ax+bx2+1dx=∫01axx2+1dx+∫01bx2+1dx=a2ln⁡(x2+1)∣01+barctan⁡x∣01=a2ln⁡2+b⋅π4\int_0^1 \frac{ax+b}{x^2+1} dx = \int_0^1 \frac{ax}{x^2+1} dx + \int_0^1 \frac{b}{x^2+1} dx = \frac{a}{2} \ln(x^2+1)\big|_0^1 + b \arctan x\big|_0^1 = \frac{a}{2} \ln 2 + b \cdot \frac{\pi}{4}.
32 puncte
Punem condiția: a2ln⁡2+b⋅π4=π4+12ln⁡2\frac{a}{2} \ln 2 + b \cdot \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2} \ln 2.
42 puncte
Rezolvăm sistemul: a+b=2a+b=2 și a2ln⁡2+b⋅π4=π4+12ln⁡2\frac{a}{2} \ln 2 + b \cdot \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2} \ln 2. Din prima ecuație, b=2−ab=2-a. Înlocuim în a doua: a2ln⁡2+(2−a)π4=π4+12ln⁡2\frac{a}{2} \ln 2 + (2-a)\frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2} \ln 2. Simplificăm: a2ln⁡2+π2−aπ4=π4+12ln⁡2⇒a−12ln⁡2−aπ4=−π4\frac{a}{2} \ln 2 + \frac{\pi}{2} - \frac{a\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2} \ln 2 \Rightarrow \frac{a-1}{2} \ln 2 - \frac{a\pi}{4} = -\frac{\pi}{4}. Înmulțim cu 4: 2(a−1)ln⁡2−aπ=−π⇒a(2ln⁡2−π)=2ln⁡2−π⇒a=12(a-1)\ln 2 - a\pi = -\pi \Rightarrow a(2\ln 2 - \pi) = 2\ln 2 - \pi \Rightarrow a=1, apoi b=1b=1.
52 puncte
Pentru b), f(x)=x+1x2+1f(x) = \frac{x+1}{x^2+1} este pozitivă pe [0,1][0,1], deci aria =∫01f(x)dx=π4+12ln⁡2= \int_0^1 f(x) dx = \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2} \ln 2.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Integrale definite

Mediu#1Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Calculați aria suprafeței plane mărginite de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+2x+3y = -x^2 + 2x + 3.
Mediu#2Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Un teren are forma mărginită de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+6x−5y = -x^2 + 6x - 5. Calculați aria acestui teren.
Ușor#3Integrale definiteMatematică aplicatăPrimitive
O companie estimează că profitul său marginal (în mii de euro) este dat de funcția P′(x)=10−0.1xP'(x) = 10 - 0.1x, unde xx este numărul de unități produse. Dacă profitul total este zero atunci când nu se produce nimic, determinați profitul total pentru o producție de 100100 de unități.
Mediu#4Integrale definiteArii și volume
Calculați aria domeniului plan mărginit de curbele y=x2y = x^2, y=2x+3y = 2x + 3, axa Oy și dreapta x=2x = 2.
Vezi toate problemele de Integrale definite →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Integrale definite cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.