MediuEcuații logaritmiceClasa 10

Problemă rezolvată de Ecuații logaritmice

MediuEcuații logaritmiceLogaritmi
Să se rezolve în mulțimea numerelor reale ecuația log⁡2(x2−3x+2)=log⁡2(x−1)+1\log_2(x^2 - 3x + 2) = \log_2(x-1) + 1.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Determinăm domeniul de definiție: x2−3x+2>0x^2 - 3x + 2 > 0 și x−1>0x-1 > 0, deci x∈(1,∞)∖{2}x \in (1, \infty) \setminus \{2\} sau mai precis, rezolvând inecuațiile, x>2x > 2 sau 1<x<21 < x < 2, dar cu atenție la semn. Mai precis, x2−3x+2=(x−1)(x−2)>0x^2 - 3x + 2 = (x-1)(x-2) > 0 dă x<1x < 1 sau x>2x > 2, iar x−1>0x-1 > 0 dă x>1x > 1. Intersecția este x>2x > 2. Așadar, domeniul este x∈(2,∞)x \in (2, \infty).
23 puncte
Folosim proprietățile logaritmilor: log⁡2(x2−3x+2)=log⁡2(x−1)+log⁡2(2)=log⁡2(2(x−1))\log_2(x^2 - 3x + 2) = \log_2(x-1) + \log_2(2) = \log_2(2(x-1)), deoarece 1=log⁡2(2)1 = \log_2(2).
33 puncte
Echivalăm argumentele: x2−3x+2=2(x−1)x^2 - 3x + 2 = 2(x-1). Simplificăm: x2−3x+2=2x−2x^2 - 3x + 2 = 2x - 2, deci x2−5x+4=0x^2 - 5x + 4 = 0.
42 puncte
Rezolvăm ecuația: x2−5x+4=0x^2 - 5x + 4 = 0 are soluțiile x1=1x_1 = 1 și x2=4x_2 = 4. Verificăm în domeniu: x=1x=1 nu aparține domeniului (2,∞)(2, \infty), iar x=4x=4 aparține. Soluția finală este x=4x=4.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Ecuații logaritmice

Mediu#1Ecuații logaritmiceEcuații iraționale
Rezolvați ecuația log⁡2x+log⁡2x3=2.\sqrt{\log_2 x} + \sqrt[3]{\log_2 x} = 2.
Mediu#2Ecuații logaritmiceLogaritmiEcuații exponentiale
Rezolvați ecuația: 22log⁡4x−1−7log⁡4x=7log⁡4x−1−3⋅4log⁡4x2^{2\log_{4}x-1}-7^{\log_{4}x}=7^{\log_{4}x-1}-3\cdot4^{\log_{4}x}
Mediu#3Ecuații logaritmiceEcuații exponentiale
Rezolvați ecuația: 7log⁡x−5log⁡x+1=3⋅5log⁡x−1−13⋅7log⁡x−17^{\log x} - 5^{\log x + 1} = 3\cdot5^{\log x - 1} - 13\cdot7^{\log x - 1}.
Mediu#4Ecuații logaritmiceTrigonometrie
Rezolvați ecuația: 3log⁡(tan⁡x)−2⋅3log⁡(cot⁡x)+1=13^{\log(\tan x)} - 2\cdot 3^{\log(\cot x)} + 1 = 1
Vezi toate problemele de Ecuații logaritmice →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Ecuații logaritmice cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.