MediuIntegrale definiteClasa 12

Problemă rezolvată de Integrale definite

MediuIntegrale definiteProprietăți ale integralelorArii și volume
Folosind proprietățile integralelor definite, demonstrează că ∫02(2x−x2) dx=43\int_{0}^{2} (2x - x^2) \, dx = \frac{4}{3} și apoi calculează volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei Ox a graficului funcției h(x)=2x−x2h(x) = \sqrt{2x - x^2} pe intervalul [0,2][0,2].

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
14 puncte
Calculează integrala definită ∫02(2x−x2) dx\int_{0}^{2} (2x - x^2) \, dx. Găsește primitiva: ∫(2x−x2)dx=x2−x33\int (2x - x^2) dx = x^2 - \frac{x^3}{3}. Evaluează la limite: (22−233)−(02−033)=(4−83)−0=123−83=43\left( 2^2 - \frac{2^3}{3} \right) - \left( 0^2 - \frac{0^3}{3} \right) = \left( 4 - \frac{8}{3} \right) - 0 = \frac{12}{3} - \frac{8}{3} = \frac{4}{3}.
23 puncte
Exprimă volumul de rotație folosind integrala definită: V=π∫02[h(x)]2 dxV = \pi \int_{0}^{2} [h(x)]^2 \, dx. Deoarece h(x)=2x−x2h(x) = \sqrt{2x - x^2}, avem [h(x)]2=2x−x2[h(x)]^2 = 2x - x^2, deci V=π∫02(2x−x2) dxV = \pi \int_{0}^{2} (2x - x^2) \, dx.
33 puncte
Din step 1, ∫02(2x−x2) dx=43\int_{0}^{2} (2x - x^2) \, dx = \frac{4}{3}, așadar volumul este V=π⋅43=4π3V = \pi \cdot \frac{4}{3} = \frac{4\pi}{3}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Integrale definite

Mediu#1Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Calculați aria suprafeței plane mărginite de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+2x+3y = -x^2 + 2x + 3.
Mediu#2Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Un teren are forma mărginită de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+6x−5y = -x^2 + 6x - 5. Calculați aria acestui teren.
Ușor#3Integrale definiteMatematică aplicatăPrimitive
O companie estimează că profitul său marginal (în mii de euro) este dat de funcția P′(x)=10−0.1xP'(x) = 10 - 0.1x, unde xx este numărul de unități produse. Dacă profitul total este zero atunci când nu se produce nimic, determinați profitul total pentru o producție de 100100 de unități.
Mediu#4Integrale definiteArii și volume
Calculați aria domeniului plan mărginit de curbele y=x2y = x^2, y=2x+3y = 2x + 3, axa Oy și dreapta x=2x = 2.
Vezi toate problemele de Integrale definite →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Integrale definite cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.