MediuNumere ComplexeClasa 10

Problemă rezolvată de Numere Complexe

MediuNumere ComplexePolinoameAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se consideră numerele complexe z1z_1 și z2z_2 soluții ale ecuației z2−4z+13=0z^2 - 4z + 13 = 0. Calculați z13+z23z_1^3 + z_2^3.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Se rezolvă ecuația z2−4z+13=0z^2 - 4z + 13 = 0. Discriminantul este Δ=16−52=−36\Delta = 16 - 52 = -36, deci z1,2=4±6i2=2±3iz_{1,2} = \frac{4 \pm 6i}{2} = 2 \pm 3i. Astfel, z1=2+3iz_1 = 2+3i, z2=2−3iz_2 = 2-3i.
24 puncte
Se folosește identitatea algebrică: z13+z23=(z1+z2)(z12−z1z2+z22)z_1^3 + z_2^3 = (z_1 + z_2)(z_1^2 - z_1 z_2 + z_2^2). Din relațiile lui Viète, z1+z2=4z_1 + z_2 = 4 și z1z2=13z_1 z_2 = 13. Se calculează z12+z22=(z1+z2)2−2z1z2=16−26=−10z_1^2 + z_2^2 = (z_1 + z_2)^2 - 2z_1 z_2 = 16 - 26 = -10.
33 puncte
Atunci z12−z1z2+z22=−10−13=−23z_1^2 - z_1 z_2 + z_2^2 = -10 - 13 = -23. În final, z13+z23=4×(−23)=−92z_1^3 + z_2^3 = 4 \times (-23) = -92.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Numere Complexe

Mediu#1Numere ComplexeInele și corpuri
Fie mulțimea K={a+bi∣a,b∈Q}K = \{ a + bi \mid a, b \in \mathbb{Q} \}. Arătați că KK este un corp în raport cu adunarea și înmulțirea numerelor complexe. Determinați toate elementele x∈Kx \in K care satisfac x2=−1x^2 = -1.
Greu#2Numere Complexe
Fie z1,z2∈Cz_1, z_2 \in \mathbb{C} astfel încât ∣z1∣=∣z2∣=1|z_1| = |z_2| = 1 și z1+z2=1z_1 + z_2 = 1. a) Demonstrați că z1⋅z2=1z_1 \cdot z_2 = 1. b) Determinați z1z_1 și z2z_2 în forma trigonometrică. c) Calculați (z1z2)2024+(z2z1)2024\left( \frac{z_1}{z_2} \right)^{2024} + \left( \frac{z_2}{z_1} \right)^{2024}.
Greu#3Numere Complexe
Fie z∈Cz \in \mathbb{C} astfel încât ∣z∣=1|z| = 1 și arg⁡(z)∈(0,π2)\arg(z) \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right). a) Demonstrați că ∣1+z∣2+∣1−z∣2=4|1+z|^2 + |1-z|^2 = 4. b) Determinați locul geometric al punctelor M(z)M(z) pentru care ∣1+z∣=2|1+z| = \sqrt{2}. c) Calculați aria maximă a triunghiului cu vârfurile în punctele afixelor 00, zz, și 1z\frac{1}{z}.
Greu#4Numere Complexe
Fie A=(i1−1−i)A = \begin{pmatrix} i & 1 \\ -1 & -i \end{pmatrix}, unde i2=−1i^2 = -1. a) Calculați A2A^2 și A3A^3. b) Demonstrați că An=in−1AA^n = i^{n-1} A pentru orice n≥1n \geq 1 întreg. c) Determinați det⁡(A2025+A2024)\det(A^{2025} + A^{2024}).
Vezi toate problemele de Numere Complexe →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Numere Complexe cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.