MediuEcuații logaritmiceClasa 10

Problemă rezolvată de Ecuații logaritmice

MediuEcuații logaritmiceSisteme de Ecuații NeliniareLogaritmi
Să se rezolve sistemul de ecuații: {log⁡3(x)+log⁡3(y)=2x+y=10\begin{cases} \log_3(x) + \log_3(y) = 2 \\ x + y = 10 \end{cases}, unde xx și yy sunt numere reale.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Folosim proprietatea logaritmilor: log⁡3(x)+log⁡3(y)=log⁡3(xy)\log_3(x) + \log_3(y) = \log_3(xy). Atunci prima ecuație devine log⁡3(xy)=2\log_3(xy) = 2.
23 puncte
Din definiția logaritmului, log⁡3(xy)=2  ⟹  xy=32=9\log_3(xy) = 2 \implies xy = 3^2 = 9.
32 puncte
Rezolvăm sistemul neliniar: x+y=10x + y = 10 și xy=9xy = 9. Din ecuația x+y=10x+y=10, exprimăm y=10−xy = 10 - x și substituim în xy=9xy=9: x(10−x)=9x(10-x)=9, adică 10x−x2=910x - x^2 = 9, deci x2−10x+9=0x^2 - 10x + 9 = 0.
42 puncte
Soluțiile ecuației x2−10x+9=0x^2 - 10x + 9 = 0 sunt x1=1x_1 = 1 și x2=9x_2 = 9. Pentru x=1x=1, y=9y=9; pentru x=9x=9, y=1y=1. Verificăm domeniul: x>0x > 0 și y>0y > 0 din definiția logaritmului, ambele soluții satisfac. Soluțiile sistemului sunt (x,y)=(1,9)(x,y) = (1,9) și (x,y)=(9,1)(x,y) = (9,1).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Ecuații logaritmice

Mediu#1Ecuații logaritmiceEcuații iraționale
Rezolvați ecuația log⁡2x+log⁡2x3=2.\sqrt{\log_2 x} + \sqrt[3]{\log_2 x} = 2.
Mediu#2Ecuații logaritmiceLogaritmiEcuații exponentiale
Rezolvați ecuația: 22log⁡4x−1−7log⁡4x=7log⁡4x−1−3⋅4log⁡4x2^{2\log_{4}x-1}-7^{\log_{4}x}=7^{\log_{4}x-1}-3\cdot4^{\log_{4}x}
Mediu#3Ecuații logaritmiceEcuații exponentiale
Rezolvați ecuația: 7log⁡x−5log⁡x+1=3⋅5log⁡x−1−13⋅7log⁡x−17^{\log x} - 5^{\log x + 1} = 3\cdot5^{\log x - 1} - 13\cdot7^{\log x - 1}.
Mediu#4Ecuații logaritmiceTrigonometrie
Rezolvați ecuația: 3log⁡(tan⁡x)−2⋅3log⁡(cot⁡x)+1=13^{\log(\tan x)} - 2\cdot 3^{\log(\cot x)} + 1 = 1
Vezi toate problemele de Ecuații logaritmice →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Ecuații logaritmice cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.