MediuProgresii GeometriceClasa 10

Problemă rezolvată de Progresii Geometrice

MediuProgresii GeometriceNumere ComplexeSisteme de Ecuații Neliniare
Fie z1,z2,z3z_1, z_2, z_3 numere complexe nenule care formează o progresie geometrică cu rația r∈Cr \in \mathbb{C}. Dacă z1+z2+z3=3z_1 + z_2 + z_3 = 3 și z12+z22+z32=5z_1^2 + z_2^2 + z_3^2 = 5, determinați rr și z1,z2,z3z_1, z_2, z_3.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Notăm z1=az_1 = a, z2=arz_2 = ar, z3=ar2z_3 = ar^2, cu a,r∈Ca, r \in \mathbb{C}, a≠0a \neq 0.\n
23 puncte
Din condițiile date, obținem: a(1+r+r2)=3a(1 + r + r^2) = 3 și a2(1+r2+r4)=5a^2(1 + r^2 + r^4) = 5.\n
32 puncte
Folosim identitatea 1+r2+r4=(1+r+r2)2−2r(1+r+r2)+r21 + r^2 + r^4 = (1 + r + r^2)^2 - 2r(1 + r + r^2) + r^2. Substituind în a doua ecuație, avem a2((1+r+r2)2−2r(1+r+r2)+r2)=5a^2((1 + r + r^2)^2 - 2r(1 + r + r^2) + r^2) = 5.\n
43 puncte
Din a(1+r+r2)=3a(1 + r + r^2) = 3, avem 1+r+r2=3a1 + r + r^2 = \frac{3}{a}. Înlocuim în ecuația de la step 3: a2((3a)2−2r⋅3a+r2)=5a^2 \left( \left( \frac{3}{a} \right)^2 - 2r \cdot \frac{3}{a} + r^2 \right) = 5, care se simplifică la 9−6ar+a2r2=09 - 6ar + a^2 r^2 = 0, adică a2r2−6ar+4=0a^2 r^2 - 6ar + 4 = 0. Notăm s=ar=z2s = ar = z_2. Atunci s2−6s+4=0s^2 - 6s + 4 = 0, deci s=3±5s = 3 \pm \sqrt{5}. Folosind a(1+r+r2)=3a(1 + r + r^2) = 3 și r=sar = \frac{s}{a}, obținem a+s+s2a=3a + s + \frac{s^2}{a} = 3. Rezolvând pentru aa cu s=3±5s = 3 \pm \sqrt{5}, găsim aa și apoi r=sar = \frac{s}{a}, determinând z1,z2,z3z_1, z_2, z_3.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Progresii Geometrice

Mediu#1Progresii GeometriceMatematică financiară
Un împrumut de 50.000 lei este contractat la o dobândă anuală de 6%, compusă anual. Împrumutul trebuie rambursat în 5 ani prin plăți anuale egale. a) Calculați valoarea plății anuale. b) Întocmiți un tabel de amortizare care să indice pentru fiecare an: soldul inițial, dobânda, rambursarea principalului și soldul final.
Ușor#2Progresii GeometriceLogaritmiMatematică financiară
O persoană depune 5000 de lei într-un cont bancar care oferă o dobândă anuală de 5%, compusă anual. După câți ani suma va depăși 7000 de lei? (Se consideră log⁡1.05≈0.0212\log 1.05 \approx 0.0212 și log⁡1.4≈0.1461\log 1.4 \approx 0.1461)
Mediu#3Progresii GeometriceLogaritmiMatematică aplicată
La deschiderea unui lac de agrement, numărul de vizitatori în prima zi a fost de 500. Se estimează că numărul de vizitatori crește cu 10% în fiecare zi față de ziua precedentă. Determinați după câte zile numărul total de vizitatori depășește 10000.
Mediu#4Progresii GeometriceNumere ComplexeȘiruri de numere reale
Fie z=(0,1)∈Cz = (0,1) \in \mathbb{C}. Exprimați ∑k=0nzk\sum_{k=0}^{n} z^k în funcție de întregul pozitiv nn.
Vezi toate problemele de Progresii Geometrice →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Progresii Geometrice cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.