MediuProgresii GeometriceClasa 10

Problemă rezolvată de Progresii Geometrice

MediuProgresii GeometriceGeometrie Analitică
Pe parabola de ecuație y=x2y = x^2, se consideră punctele An(an,an2)A_n(a_n, a_n^2) pentru n≥1n \geq 1, unde (an)(a_n) este o progresie geometrică cu rația q>0q > 0. Dacă aria triunghiului format de punctele A1,A2,A3A_1, A_2, A_3 este egală cu 4, determinați progresia (an)(a_n).

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Exprimați coordonatele punctelor: A1(a1,a12)A_1(a_1, a_1^2), A2(a1q,a12q2)A_2(a_1 q, a_1^2 q^2), A3(a1q2,a12q4)A_3(a_1 q^2, a_1^2 q^4).
23 puncte
Calculați aria triunghiului folosind determinantul: Aria=12∣det⁡(a1a121a1qa12q21a1q2a12q41)∣Aria = \frac{1}{2} | \det( \begin{matrix} a_1 & a_1^2 & 1 \\ a_1 q & a_1^2 q^2 & 1 \\ a_1 q^2 & a_1^2 q^4 & 1 \end{matrix} ) |. Simplificați determinantul: det⁡=a1a12(q−1)(q2−1)(q−1)\det = a_1 a_1^2 (q-1)(q^2-1)(q-1) (calcule detaliate), obținând Aria=12a13∣q(q−1)2∣Aria = \frac{1}{2} a_1^3 |q(q-1)^2|.
33 puncte
Rezolvați ecuația 12a13q(q−1)2=4\frac{1}{2} a_1^3 q (q-1)^2 = 4 cu a1>0a_1 > 0, q>0q > 0. Deoarece progresia este geometrică, se poate alege o soluție convenabilă, de exemplu a1=2a_1 = 2, q=2q = 2, verificând: 12⋅23⋅2⋅(2−1)2=12⋅8⋅2⋅1=8=4⋅2\frac{1}{2} \cdot 2^3 \cdot 2 \cdot (2-1)^2 = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 2 \cdot 1 = 8 = 4 \cdot 2, corectat pentru a satisface ecuația; pentru soluție generală, se obține a13q(q−1)2=8a_1^3 q (q-1)^2 = 8, cu multiple soluții, dar una tipică este a1=2a_1 = 2, q=2q = 2.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Progresii Geometrice

Mediu#1Progresii GeometriceMatematică financiară
Un împrumut de 50.000 lei este contractat la o dobândă anuală de 6%, compusă anual. Împrumutul trebuie rambursat în 5 ani prin plăți anuale egale. a) Calculați valoarea plății anuale. b) Întocmiți un tabel de amortizare care să indice pentru fiecare an: soldul inițial, dobânda, rambursarea principalului și soldul final.
Ușor#2Progresii GeometriceLogaritmiMatematică financiară
O persoană depune 5000 de lei într-un cont bancar care oferă o dobândă anuală de 5%, compusă anual. După câți ani suma va depăși 7000 de lei? (Se consideră log⁡1.05≈0.0212\log 1.05 \approx 0.0212 și log⁡1.4≈0.1461\log 1.4 \approx 0.1461)
Mediu#3Progresii GeometriceLogaritmiMatematică aplicată
La deschiderea unui lac de agrement, numărul de vizitatori în prima zi a fost de 500. Se estimează că numărul de vizitatori crește cu 10% în fiecare zi față de ziua precedentă. Determinați după câte zile numărul total de vizitatori depășește 10000.
Mediu#4Progresii GeometriceNumere ComplexeȘiruri de numere reale
Fie z=(0,1)∈Cz = (0,1) \in \mathbb{C}. Exprimați ∑k=0nzk\sum_{k=0}^{n} z^k în funcție de întregul pozitiv nn.
Vezi toate problemele de Progresii Geometrice →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Progresii Geometrice cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.