MediuMatriciClasa 11

Problemă rezolvată de Matrici

MediuMatriciAlgebră și Calcule cu Numere RealeSisteme de Ecuații Liniare
Fie matricele A=(1234)A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} și B=(201−1)B = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}. Calculați A2−2BA^2 - 2B și determinați matricea XX care verifică ecuația A⋅X=BA \cdot X = B.

Rezolvare completă

10 puncte · 2 pași
14 puncte
Calculați A2=A⋅A=(1234)⋅(1234)=(1⋅1+2⋅31⋅2+2⋅43⋅1+4⋅33⋅2+4⋅4)=(7101522)A^2 = A \cdot A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot1 + 2\cdot3 & 1\cdot2 + 2\cdot4 \\ 3\cdot1 + 4\cdot3 & 3\cdot2 + 4\cdot4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 & 10 \\ 15 & 22 \end{pmatrix}. Apoi, 2B=(402−2)2B = \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 2 & -2 \end{pmatrix}, deci A2−2B=(7−410−015−222−(−2))=(3101324)A^2 - 2B = \begin{pmatrix} 7-4 & 10-0 \\ 15-2 & 22-(-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 10 \\ 13 & 24 \end{pmatrix}.
26 puncte
Ecuația A⋅X=BA \cdot X = B implică X=A−1⋅BX = A^{-1} \cdot B, dacă AA este inversabilă. Calculați det⁡A=1⋅4−2⋅3=4−6=−2≠0\det A = 1\cdot4 - 2\cdot3 = 4-6 = -2 \neq 0, deci AA este inversabilă. Matricea inversă A−1=1−2(4−2−31)=(−2132−12)A^{-1} = \frac{1}{-2} \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix}. Atunci X=A−1⋅B=(−2132−12)⋅(201−1)=(−2⋅2+1⋅1−2⋅0+1⋅(−1)32⋅2+(−12)⋅132⋅0+(−12)⋅(−1))=(−4+10−13−120+12)=(−3−15212)X = A^{-1} \cdot B = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2\cdot2 + 1\cdot1 & -2\cdot0 + 1\cdot(-1) \\ \frac{3}{2}\cdot2 + (-\frac{1}{2})\cdot1 & \frac{3}{2}\cdot0 + (-\frac{1}{2})\cdot(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4+1 & 0-1 \\ 3 - \frac{1}{2} & 0 + \frac{1}{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 & -1 \\ \frac{5}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Matrici

Mediu#1MatriciInele și corpuri
Fie mulțimea M={aI2+bJ∣a,b∈R}M = \{ aI_2 + bJ \mid a, b \in \mathbb{R} \} unde I2I_2 este matricea identitate de ordin 2 și J=(01−10)J = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}. Arătați că MM cu adunarea și înmulțirea matricelor formează un inel comutativ. Determinați dacă este un corp și, dacă nu, găsiți elementele inversabile.
Mediu#2MatriciInele și corpuri
Fie M={(ab0c)∣a,b,c∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix} \mid a, b, c \in \mathbb{R} \right\} mulțimea matricelor triunghiulare superioare de ordinul 2. Se definește operația de adunare ca adunarea obișnuită a matricelor și operația de înmulțire ca înmulțirea obișnuită a matricelor. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel. Dacă da, este el un corp? Justificați răspunsul.
Mediu#3MatriciInele și corpuri
Fie mulțimea M={(ab−ba)∣a,b∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix} \mid a, b \in \mathbb{R} \right\}. Arătați că (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un corp, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea matricelor. Apoi, rezolvați în acest corp ecuația X2=−IX^2 = -I, unde II este matricea identitate.
Mediu#4MatriciSisteme de Ecuații LiniareMatematică aplicată
Într-o uzină, se fabrică trei tipuri de piese: P1, P2 și P3. Timpii necesari (în minute) pentru fiecare piesă pe trei utilaje diferite sunt dați de matricea A=(5867496105)A = \begin{pmatrix} 5 & 8 & 6 \\ 7 & 4 & 9 \\ 6 & 10 & 5 \end{pmatrix}, unde rândul ii corespunde utilajului UiU_i și coloana jj piesei PjP_j. Dacă utilajele sunt disponibile timp de 120, 150 și 180 de minute respectiv, și se dorește utilizarea integrală a timpului, determinați câte piese de fiecare tip pot fi produse prin rezolvarea sistemului liniar folosind metoda matriceală. (Presupunem că numărul de piese este număr întreg pozitiv.)
Vezi toate problemele de Matrici →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Matrici cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.