MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieNumere ComplexeGrupuri
Pe mulțimea numerelor complexe C\mathbb{C}, se definește legea de compoziție z∙w=z+w−Re(z)Re(w)z \bullet w = z + w - \text{Re}(z)\text{Re}(w), unde Re(z)\text{Re}(z) este partea reală a lui zz. Să se arate că această lege este asociativă și să se determine elementul neutru. Este legea comutativă?

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Verificarea comutativității. Avem z∙w=z+w−Re(z)Re(w)z \bullet w = z + w - \text{Re}(z)\text{Re}(w) și w∙z=w+z−Re(w)Re(z)w \bullet z = w + z - \text{Re}(w)\text{Re}(z). Deoarece Re(z)Re(w)=Re(w)Re(z)\text{Re}(z)\text{Re}(w) = \text{Re}(w)\text{Re}(z), rezultă că z∙w=w∙zz \bullet w = w \bullet z, deci legea este comutativă.
24 puncte
Verificarea asociativității. Calculăm (z∙w)∙u=(z+w−Re(z)Re(w))∙u=(z+w−Re(z)Re(w))+u−Re(z+w−Re(z)Re(w))Re(u)(z \bullet w) \bullet u = (z + w - \text{Re}(z)\text{Re}(w)) \bullet u = (z + w - \text{Re}(z)\text{Re}(w)) + u - \text{Re}(z + w - \text{Re}(z)\text{Re}(w))\text{Re}(u). Observăm că Re(z+w−Re(z)Re(w))=Re(z)+Re(w)−Re(z)Re(w)\text{Re}(z + w - \text{Re}(z)\text{Re}(w)) = \text{Re}(z) + \text{Re}(w) - \text{Re}(z)\text{Re}(w), deoarece partea reală este liniară. Așadar, (z∙w)∙u=z+w+u−Re(z)Re(w)−(Re(z)+Re(w)−Re(z)Re(w))Re(u)=z+w+u−Re(z)Re(w)−Re(z)Re(u)−Re(w)Re(u)+Re(z)Re(w)Re(u)(z \bullet w) \bullet u = z + w + u - \text{Re}(z)\text{Re}(w) - (\text{Re}(z) + \text{Re}(w) - \text{Re}(z)\text{Re}(w))\text{Re}(u) = z + w + u - \text{Re}(z)\text{Re}(w) - \text{Re}(z)\text{Re}(u) - \text{Re}(w)\text{Re}(u) + \text{Re}(z)\text{Re}(w)\text{Re}(u). Similar, calculăm z∙(w∙u)=z∙(w+u−Re(w)Re(u))=z+(w+u−Re(w)Re(u))−Re(z)Re(w+u−Re(w)Re(u))=z+w+u−Re(w)Re(u)−Re(z)(Re(w)+Re(u)−Re(w)Re(u))=z+w+u−Re(w)Re(u)−Re(z)Re(w)−Re(z)Re(u)+Re(z)Re(w)Re(u)z \bullet (w \bullet u) = z \bullet (w + u - \text{Re}(w)\text{Re}(u)) = z + (w + u - \text{Re}(w)\text{Re}(u)) - \text{Re}(z)\text{Re}(w + u - \text{Re}(w)\text{Re}(u)) = z + w + u - \text{Re}(w)\text{Re}(u) - \text{Re}(z)(\text{Re}(w) + \text{Re}(u) - \text{Re}(w)\text{Re}(u)) = z + w + u - \text{Re}(w)\text{Re}(u) - \text{Re}(z)\text{Re}(w) - \text{Re}(z)\text{Re}(u) + \text{Re}(z)\text{Re}(w)\text{Re}(u). Comparând, expresiile sunt identice, deci legea este asociativă.
33 puncte
Determinarea elementului neutru. Fie ee elementul neutru, atunci z∙e=zz \bullet e = z pentru orice zz. Deci z+e−Re(z)Re(e)=z  ⟹  e−Re(z)Re(e)=0z + e - \text{Re}(z)\text{Re}(e) = z \implies e - \text{Re}(z)\text{Re}(e) = 0. Pentru ca aceasta să fie adevărată pentru orice zz, trebuie Re(e)=0\text{Re}(e) = 0 și atunci e=0e=0. Verificăm: dacă e=0e=0, atunci z∙0=z+0−Re(z)⋅0=zz \bullet 0 = z + 0 - \text{Re}(z)\cdot 0 = z, deci 00 este elementul neutru.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.