MediuNumere ComplexeClasa 10

Problemă rezolvată de Numere Complexe

MediuNumere ComplexePolinoame
Fie numărul complex zz astfel încât z2−4z+13=0z^2 - 4z + 13 = 0. Demonstrați că zn+z‾nz^n + \overline{z}^n este un număr real pentru orice n∈Nn \in \mathbb{N} și calculați valoarea acestei sume pentru n=10n=10.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Rezolvăm ecuația z2−4z+13=0z^2 - 4z + 13 = 0. Discriminantul este Δ=(−4)2−4⋅1⋅13=16−52=−36\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 13 = 16 - 52 = -36. Atunci z=4±−362=4±6i2=2±3iz = \frac{4 \pm \sqrt{-36}}{2} = \frac{4 \pm 6i}{2} = 2 \pm 3i. Deci z=2+3iz = 2+3i sau z=2−3iz = 2-3i; notăm z1=2+3iz_1 = 2+3i și z2=z1‾=2−3iz_2 = \overline{z_1} = 2-3i.
24 puncte
Fie z=a+biz = a+bi cu a,b∈Ra,b \in \mathbb{R} și z‾=a−bi\overline{z} = a-bi. Considerăm forma trigonometrică: z=r(cos⁡θ+isin⁡θ)z = r(\cos\theta + i\sin\theta), unde r=a2+b2r = \sqrt{a^2+b^2} și cos⁡θ=a/r\cos\theta = a/r, sin⁡θ=b/r\sin\theta = b/r. Atunci z‾=r(cos⁡θ−isin⁡θ)=r(cos⁡(−θ)+isin⁡(−θ))\overline{z} = r(\cos\theta - i\sin\theta) = r(\cos(-\theta) + i\sin(-\theta)). Prin formula lui De Moivre, zn=rn(cos⁡nθ+isin⁡nθ)z^n = r^n(\cos n\theta + i\sin n\theta) și z‾n=rn(cos⁡(−nθ)+isin⁡(−nθ))=rn(cos⁡nθ−isin⁡nθ)\overline{z}^n = r^n(\cos(-n\theta) + i\sin(-n\theta)) = r^n(\cos n\theta - i\sin n\theta). Sumând, zn+z‾n=2rncos⁡nθz^n + \overline{z}^n = 2r^n \cos n\theta, care este real deoarece rnr^n și cos⁡nθ\cos n\theta sunt reale.
33 puncte
Pentru z=2+3iz = 2+3i, avem r=22+32=13r = \sqrt{2^2+3^2} = \sqrt{13} și cos⁡θ=2/13\cos\theta = 2/\sqrt{13}. Folosim o recurență: notăm Sn=zn+z‾nS_n = z^n + \overline{z}^n. Din z2=4z−13z^2 = 4z - 13, avem zn+2=4zn+1−13znz^{n+2} = 4z^{n+1} - 13z^n, și similar pentru z‾\overline{z}, deci Sn+2=4Sn+1−13SnS_{n+2} = 4S_{n+1} - 13S_n. Cu S0=2S_0 = 2 și S1=z+z‾=4S_1 = z + \overline{z} = 4, calculăm: S2=4⋅4−13⋅2=−10S_2 = 4\cdot4 - 13\cdot2 = -10, S3=4⋅(−10)−13⋅4=−92S_3 = 4\cdot(-10) - 13\cdot4 = -92, S4=4⋅(−92)−13⋅(−10)=−238S_4 = 4\cdot(-92) - 13\cdot(-10) = -238, S5=4⋅(−238)−13⋅(−92)=244S_5 = 4\cdot(-238) - 13\cdot(-92) = 244, S6=4⋅244−13⋅(−238)=4070S_6 = 4\cdot244 - 13\cdot(-238) = 4070, S7=4⋅4070−13⋅244=13108S_7 = 4\cdot4070 - 13\cdot244 = 13108, S8=4⋅13108−13⋅4070=−478S_8 = 4\cdot13108 - 13\cdot4070 = -478, S9=4⋅(−478)−13⋅13108=−172316S_9 = 4\cdot(-478) - 13\cdot13108 = -172316, S10=4⋅(−172316)−13⋅(−478)=−683050S_{10} = 4\cdot(-172316) - 13\cdot(-478) = -683050. Deci z10+z‾10=−683050z^{10} + \overline{z}^{10} = -683050.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Numere Complexe

Mediu#1Numere ComplexeInele și corpuri
Fie mulțimea K={a+bi∣a,b∈Q}K = \{ a + bi \mid a, b \in \mathbb{Q} \}. Arătați că KK este un corp în raport cu adunarea și înmulțirea numerelor complexe. Determinați toate elementele x∈Kx \in K care satisfac x2=−1x^2 = -1.
Greu#2Numere Complexe
Fie z1,z2∈Cz_1, z_2 \in \mathbb{C} astfel încât ∣z1∣=∣z2∣=1|z_1| = |z_2| = 1 și z1+z2=1z_1 + z_2 = 1. a) Demonstrați că z1⋅z2=1z_1 \cdot z_2 = 1. b) Determinați z1z_1 și z2z_2 în forma trigonometrică. c) Calculați (z1z2)2024+(z2z1)2024\left( \frac{z_1}{z_2} \right)^{2024} + \left( \frac{z_2}{z_1} \right)^{2024}.
Greu#3Numere Complexe
Fie z∈Cz \in \mathbb{C} astfel încât ∣z∣=1|z| = 1 și arg⁡(z)∈(0,π2)\arg(z) \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right). a) Demonstrați că ∣1+z∣2+∣1−z∣2=4|1+z|^2 + |1-z|^2 = 4. b) Determinați locul geometric al punctelor M(z)M(z) pentru care ∣1+z∣=2|1+z| = \sqrt{2}. c) Calculați aria maximă a triunghiului cu vârfurile în punctele afixelor 00, zz, și 1z\frac{1}{z}.
Greu#4Numere Complexe
Fie A=(i1−1−i)A = \begin{pmatrix} i & 1 \\ -1 & -i \end{pmatrix}, unde i2=−1i^2 = -1. a) Calculați A2A^2 și A3A^3. b) Demonstrați că An=in−1AA^n = i^{n-1} A pentru orice n≥1n \geq 1 întreg. c) Determinați det⁡(A2025+A2024)\det(A^{2025} + A^{2024}).
Vezi toate problemele de Numere Complexe →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Numere Complexe cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.