MediuNumere ComplexeClasa 10

Problemă rezolvată de Numere Complexe

MediuNumere ComplexeGeometrie Analitică
Să se rezolve în mulțimea numerelor complexe ecuația z3+8=0z^3 + 8 = 0. Apoi, să se arate că soluțiile sunt vârfurile unui triunghi echilateral în planul complex.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Ecuația z3+8=0z^3 + 8 = 0 este echivalentă cu z3=−8z^3 = -8. Scriem −8-8 în forma trigonometrică: −8=8(cos⁡π+isin⁡π)-8 = 8(\cos \pi + i \sin \pi). Rădăcinile de ordinul 3 sunt date de formula lui Moivre: zk=2(cos⁡π+2kπ3+isin⁡π+2kπ3)z_k = 2 \left( \cos \frac{\pi + 2k\pi}{3} + i \sin \frac{\pi + 2k\pi}{3} \right), pentru k=0,1,2k = 0, 1, 2. Calculăm: pentru k=0k=0: z0=2(cos⁡π3+isin⁡π3)=2(12+i32)=1+i3z_0 = 2 \left( \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3} \right) = 2 \left( \frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = 1 + i\sqrt{3}; pentru k=1k=1: z1=2(cos⁡π+isin⁡π)=2(−1+i⋅0)=−2z_1 = 2 \left( \cos \pi + i \sin \pi \right) = 2(-1 + i \cdot 0) = -2; pentru k=2k=2: z2=2(cos⁡5π3+isin⁡5π3)=2(12−i32)=1−i3z_2 = 2 \left( \cos \frac{5\pi}{3} + i \sin \frac{5\pi}{3} \right) = 2 \left( \frac{1}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = 1 - i\sqrt{3}.
23 puncte
Considerăm punctele A(z0)A(z_0), B(z1)B(z_1), C(z2)C(z_2) în planul complex. Distanța dintre două numere complexe zz și ww este ∣z−w∣|z-w|. Calculăm: ∣z0−z1∣=∣(1+i3)−(−2)∣=∣3+i3∣=32+(3)2=12=23|z_0 - z_1| = | (1+i\sqrt{3}) - (-2) | = | 3 + i\sqrt{3} | = \sqrt{3^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}; ∣z1−z2∣=∣(−2)−(1−i3)∣=∣−3+i3∣=(−3)2+(3)2=12=23|z_1 - z_2| = | (-2) - (1-i\sqrt{3}) | = | -3 + i\sqrt{3} | = \sqrt{(-3)^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}; ∣z2−z0∣=∣(1−i3)−(1+i3)∣=∣−2i3∣=23|z_2 - z_0| = | (1-i\sqrt{3}) - (1+i\sqrt{3}) | = | -2i\sqrt{3} | = 2\sqrt{3}. Toate distanțele sunt egale, deci triunghiul ABCABC este echilateral.
33 puncte
Justificare suplimentară: Rădăcinile de ordinul nn ale unui număr complex sunt uniform distribuite pe un cerc în planul complex, formând vârfurile unui poligon regulat cu nn laturi. În cazul nostru, n=3n=3, deci triunghiul este echilateral. De asemenea, putem observa că suma rădăcinilor este zero și modulele sunt egale, ceea ce confirmă proprietatea geometrică.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Numere Complexe

Mediu#1Numere ComplexeInele și corpuri
Fie mulțimea K={a+bi∣a,b∈Q}K = \{ a + bi \mid a, b \in \mathbb{Q} \}. Arătați că KK este un corp în raport cu adunarea și înmulțirea numerelor complexe. Determinați toate elementele x∈Kx \in K care satisfac x2=−1x^2 = -1.
Greu#2Numere Complexe
Fie z1,z2∈Cz_1, z_2 \in \mathbb{C} astfel încât ∣z1∣=∣z2∣=1|z_1| = |z_2| = 1 și z1+z2=1z_1 + z_2 = 1. a) Demonstrați că z1⋅z2=1z_1 \cdot z_2 = 1. b) Determinați z1z_1 și z2z_2 în forma trigonometrică. c) Calculați (z1z2)2024+(z2z1)2024\left( \frac{z_1}{z_2} \right)^{2024} + \left( \frac{z_2}{z_1} \right)^{2024}.
Greu#3Numere Complexe
Fie z∈Cz \in \mathbb{C} astfel încât ∣z∣=1|z| = 1 și arg⁡(z)∈(0,π2)\arg(z) \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right). a) Demonstrați că ∣1+z∣2+∣1−z∣2=4|1+z|^2 + |1-z|^2 = 4. b) Determinați locul geometric al punctelor M(z)M(z) pentru care ∣1+z∣=2|1+z| = \sqrt{2}. c) Calculați aria maximă a triunghiului cu vârfurile în punctele afixelor 00, zz, și 1z\frac{1}{z}.
Greu#4Numere Complexe
Fie A=(i1−1−i)A = \begin{pmatrix} i & 1 \\ -1 & -i \end{pmatrix}, unde i2=−1i^2 = -1. a) Calculați A2A^2 și A3A^3. b) Demonstrați că An=in−1AA^n = i^{n-1} A pentru orice n≥1n \geq 1 întreg. c) Determinați det⁡(A2025+A2024)\det(A^{2025} + A^{2024}).
Vezi toate problemele de Numere Complexe →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Numere Complexe cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.