MediuIntegrale definiteClasa 12

Problemă rezolvată de Integrale definite

MediuIntegrale definiteȘiruri de numere realePrimitive
Se consideră șirul (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} definit prin an=∫01xnex dxa_n = \int_{0}^{1} x^n e^x \, dx pentru orice n∈N∗n \in \mathbb{N}^*. Demonstrați că an+1=e−(n+1)ana_{n+1} = e - (n+1)a_n pentru orice n∈N∗n \in \mathbb{N}^*.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Scrierea expresiei pentru an+1a_{n+1}: an+1=∫01xn+1ex dxa_{n+1} = \int_{0}^{1} x^{n+1} e^x \, dx.
24 puncte
Aplicarea metodei integrării prin părți: se consideră u=xn+1u = x^{n+1} și dv=exdxdv = e^x dx, deci du=(n+1)xndxdu = (n+1)x^n dx și v=exv = e^x. Atunci an+1=[xn+1ex]01−∫01(n+1)xnex dxa_{n+1} = \left[ x^{n+1} e^x \right]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} (n+1)x^n e^x \, dx.
33 puncte
Evaluarea termenilor: [xn+1ex]01=1n+1e1−0n+1e0=e\left[ x^{n+1} e^x \right]_{0}^{1} = 1^{n+1} e^1 - 0^{n+1} e^0 = e, și ∫01(n+1)xnex dx=(n+1)∫01xnex dx=(n+1)an\int_{0}^{1} (n+1)x^n e^x \, dx = (n+1) \int_{0}^{1} x^n e^x \, dx = (n+1) a_n. Prin urmare, an+1=e−(n+1)ana_{n+1} = e - (n+1)a_n.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Integrale definite

Mediu#1Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Calculați aria suprafeței plane mărginite de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+2x+3y = -x^2 + 2x + 3.
Mediu#2Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Un teren are forma mărginită de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+6x−5y = -x^2 + 6x - 5. Calculați aria acestui teren.
Ușor#3Integrale definiteMatematică aplicatăPrimitive
O companie estimează că profitul său marginal (în mii de euro) este dat de funcția P′(x)=10−0.1xP'(x) = 10 - 0.1x, unde xx este numărul de unități produse. Dacă profitul total este zero atunci când nu se produce nimic, determinați profitul total pentru o producție de 100100 de unități.
Mediu#4Integrale definiteArii și volume
Calculați aria domeniului plan mărginit de curbele y=x2y = x^2, y=2x+3y = 2x + 3, axa Oy și dreapta x=2x = 2.
Vezi toate problemele de Integrale definite →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Integrale definite cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.