MediuNumere ComplexeClasa 10

Problemă rezolvată de Numere Complexe

MediuNumere ComplexeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Determinați toate numerele complexe zz care verifică ecuația z2+2∣z∣=0z^2 + 2|z| = 0.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Scriem z=a+biz = a+bi cu a,b∈Ra,b \in \mathbb{R} și substituim în ecuație, obținând (a2−b2)+2abi+2a2+b2=0(a^2 - b^2) + 2abi + 2\sqrt{a^2+b^2} = 0.
23 puncte
Echivalăm părțile reale și imaginare: a2−b2+2a2+b2=0a^2 - b^2 + 2\sqrt{a^2+b^2} = 0 și 2ab=02ab = 0.
34 puncte
Din 2ab=02ab=0, avem cazurile a=0a=0 sau b=0b=0. Dacă a=0a=0, ecuația devine −b2+2∣b∣=0-b^2 + 2|b| = 0; rezolvăm: pentru b≥0b \geq 0, 2b=b22b = b^2 dă b=0b=0 sau b=2b=2; pentru b<0b<0, −2b=b2-2b = b^2 dă b=0b=0 sau b=−2b=-2. Dacă b=0b=0, ecuația devine a2+2∣a∣=0a^2 + 2|a| = 0; rezolvăm: pentru a≥0a \geq 0, a2+2a=0a^2+2a=0 dă a=0a=0; pentru a<0a<0, a2−2a=0a^2-2a=0 dă a=0a=0 sau a=2a=2, dar a<0a<0, deci nici o soluție.
41 punct
Concluzie: soluțiile sunt z=0z=0, z=2iz=2i, z=−2iz=-2i.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Numere Complexe

Mediu#1Numere ComplexeInele și corpuri
Fie mulțimea K={a+bi∣a,b∈Q}K = \{ a + bi \mid a, b \in \mathbb{Q} \}. Arătați că KK este un corp în raport cu adunarea și înmulțirea numerelor complexe. Determinați toate elementele x∈Kx \in K care satisfac x2=−1x^2 = -1.
Greu#2Numere Complexe
Fie z1,z2∈Cz_1, z_2 \in \mathbb{C} astfel încât ∣z1∣=∣z2∣=1|z_1| = |z_2| = 1 și z1+z2=1z_1 + z_2 = 1. a) Demonstrați că z1⋅z2=1z_1 \cdot z_2 = 1. b) Determinați z1z_1 și z2z_2 în forma trigonometrică. c) Calculați (z1z2)2024+(z2z1)2024\left( \frac{z_1}{z_2} \right)^{2024} + \left( \frac{z_2}{z_1} \right)^{2024}.
Greu#3Numere Complexe
Fie z∈Cz \in \mathbb{C} astfel încât ∣z∣=1|z| = 1 și arg⁡(z)∈(0,π2)\arg(z) \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right). a) Demonstrați că ∣1+z∣2+∣1−z∣2=4|1+z|^2 + |1-z|^2 = 4. b) Determinați locul geometric al punctelor M(z)M(z) pentru care ∣1+z∣=2|1+z| = \sqrt{2}. c) Calculați aria maximă a triunghiului cu vârfurile în punctele afixelor 00, zz, și 1z\frac{1}{z}.
Greu#4Numere Complexe
Fie A=(i1−1−i)A = \begin{pmatrix} i & 1 \\ -1 & -i \end{pmatrix}, unde i2=−1i^2 = -1. a) Calculați A2A^2 și A3A^3. b) Demonstrați că An=in−1AA^n = i^{n-1} A pentru orice n≥1n \geq 1 întreg. c) Determinați det⁡(A2025+A2024)\det(A^{2025} + A^{2024}).
Vezi toate problemele de Numere Complexe →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Numere Complexe cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.