MediuProgresii GeometriceClasa 10

Problemă rezolvată de Progresii Geometrice

MediuProgresii GeometriceNumere Complexe
Fie z1,z2,z3,…z_1, z_2, z_3, \dots un șir de numere complexe care formează o progresie geometrică. Știind că z1=1+iz_1 = 1+i, z3=−2+2iz_3 = -2+2i și suma primilor nn termeni este Sn=(1+i)(1−(−1+i)n)1−(−1+i)S_n = \frac{(1+i)(1-(-1+i)^n)}{1-(-1+i)}, determinați rația progresiei și calculați ∣z5∣|z_5|.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Scriem z3=z1⋅q2z_3 = z_1 \cdot q^2, unde qq este rația. Avem −2+2i=(1+i)⋅q2-2+2i = (1+i) \cdot q^2, deci q2=−2+2i1+i=2(−1+i)1+iq^2 = \frac{-2+2i}{1+i} = \frac{2(-1+i)}{1+i}. Simplificăm: 2(−1+i)1+i=2(−1+i)(1−i)(1+i)(1−i)=2(−1+2i+1)2=2i\frac{2(-1+i)}{1+i} = \frac{2(-1+i)(1-i)}{(1+i)(1-i)} = \frac{2(-1+2i+1)}{2} = 2i. Așadar, q2=2iq^2 = 2i, deci q=2iq = \sqrt{2i}. Calculăm 2i\sqrt{2i}: scriem 2i=2(cos⁡π2+isin⁡π2)2i = 2(\cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2}), deci rădăcinile pătrate sunt 2(cos⁡π4+isin⁡π4)=1+i\sqrt{2}(\cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4}) = 1+i și 2(cos⁡5π4+isin⁡5π4)=−1−i\sqrt{2}(\cos \frac{5\pi}{4} + i \sin \frac{5\pi}{4}) = -1-i. Obținem două valori posibile pentru qq: q1=1+iq_1 = 1+i și q2=−1−iq_2 = -1-i.
23 puncte
Verificăm cu formula sumei. Pentru q=1+iq = 1+i, suma ar fi Sn=z1(1−qn)1−q=(1+i)(1−(1+i)n)1−(1+i)=(1+i)(1−(1+i)n)−iS_n = \frac{z_1(1-q^n)}{1-q} = \frac{(1+i)(1-(1+i)^n)}{1-(1+i)} = \frac{(1+i)(1-(1+i)^n)}{-i}. Aceasta nu se potrivește cu SnS_n dată. Pentru q=−1−iq = -1-i, suma ar fi (1+i)(1−(−1−i)n)1−(−1−i)=(1+i)(1−(−1−i)n)2+i\frac{(1+i)(1-(-1-i)^n)}{1-(-1-i)} = \frac{(1+i)(1-(-1-i)^n)}{2+i}. Dar formula dată are (−1+i)n(-1+i)^n, deci trebuie să verificăm dacă (−1−i)n=(−1+i)n(-1-i)^n = (-1+i)^n. Observăm că −1−i=−(1+i)-1-i = -(1+i) și −1+i=−(1−i)-1+i = -(1-i), deci nu sunt egale. Reexaminăm: din q2=2iq^2 = 2i, putem avea q=1+iq = 1+i sau q=−1−iq = -1-i. Formula sumei dată are (−1+i)n(-1+i)^n, deci comparăm (−1+i)(-1+i) cu qq. Dacă q=−1+iq = -1+i, atunci q2=(−1+i)2=1−2i−1=−2iq^2 = (-1+i)^2 = 1 - 2i -1 = -2i, care nu este 2i2i. Deci nu se potrivește. Să recalculăm qq din suma dată: Sn=z1(1−qn)1−qS_n = \frac{z_1(1-q^n)}{1-q}, comparăm cu Sn=(1+i)(1−(−1+i)n)1−(−1+i)S_n = \frac{(1+i)(1-(-1+i)^n)}{1-(-1+i)}. Identificăm q=−1+iq = -1+i. Verificăm cu z3z_3: z3=z1⋅q2=(1+i)(−1+i)2=(1+i)(1−2i−1)=(1+i)(−2i)=−2i−2i2=−2i+2=2−2iz_3 = z_1 \cdot q^2 = (1+i)(-1+i)^2 = (1+i)(1 - 2i -1) = (1+i)(-2i) = -2i -2i^2 = -2i +2 = 2-2i, dar avem z3=−2+2iz_3 = -2+2i. Contradicție. Să corectăm: din suma dată, deducem q=−1+iq = -1+i. Atunci z3=(1+i)(−1+i)2=(1+i)(1−2i−1)=(1+i)(−2i)=−2i−2i2=−2i+2=2−2iz_3 = (1+i)(-1+i)^2 = (1+i)(1 - 2i -1) = (1+i)(-2i) = -2i -2i^2 = -2i +2 = 2-2i. Dar enunțul dă z3=−2+2iz_3 = -2+2i. Observăm că −2+2i=−(2−2i)-2+2i = -(2-2i), deci există o discrepanță. Presupunem că progresia este definită corect: z1=1+iz_1 = 1+i, z3=−2+2iz_3 = -2+2i. Atunci q2=z3z1=−2+2i1+i=2(−1+i)1+i=2iq^2 = \frac{z_3}{z_1} = \frac{-2+2i}{1+i} = \frac{2(-1+i)}{1+i} = 2i (așa cum am calculat). Deci q=2i=1+iq = \sqrt{2i} = 1+i sau q=−1−iq = -1-i. Verificăm cu suma: pentru q=1+iq = 1+i, Sn=(1+i)(1−(1+i)n)1−(1+i)=(1+i)(1−(1+i)n)−iS_n = \frac{(1+i)(1-(1+i)^n)}{1-(1+i)} = \frac{(1+i)(1-(1+i)^n)}{-i}, care nu se aseamănă cu cea dată. Pentru q=−1−iq = -1-i, Sn=(1+i)(1−(−1−i)n)1−(−1−i)=(1+i)(1−(−1−i)n)2+iS_n = \frac{(1+i)(1-(-1-i)^n)}{1-(-1-i)} = \frac{(1+i)(1-(-1-i)^n)}{2+i}. Nu se potrivește. Să presupunem că suma dată este corectă și determinăm qq din ea: din SnS_n, numitorul 1−(−1+i)=2−i1-(-1+i)=2-i, deci q=−1+iq = -1+i. Dar atunci z3=(1+i)(−1+i)2=2−2iz_3 = (1+i)(-1+i)^2 = 2-2i, nu −2+2i-2+2i. Deci enunțul pare inconsistent. Pentru a rezolva, alegem qq din z1z_1 și z3z_3: q2=2iq^2 = 2i, deci q=1+iq = 1+i sau q=−1−iq = -1-i. Pentru a calcula ∣z5∣|z_5|, folosim z5=z1⋅q4z_5 = z_1 \cdot q^4. Dacă q=1+iq = 1+i, q4=(1+i)4=((1+i)2)2=(2i)2=−4q^4 = (1+i)^4 = ((1+i)^2)^2 = (2i)^2 = -4, deci z5=(1+i)(−4)=−4−4iz_5 = (1+i)(-4) = -4-4i, ∣z5∣=(−4)2+(−4)2=32=42|z_5| = \sqrt{(-4)^2 + (-4)^2} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}. Dacă q=−1−iq = -1-i, q4=((−1−i)2)2=(2i)2=−4q^4 = ((-1-i)^2)^2 = (2i)^2 = -4, la fel. Deci indiferent de qq, ∣z5∣=42|z_5| = 4\sqrt{2}.
34 puncte
Calculul final: ∣z5∣=42|z_5| = 4\sqrt{2}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Progresii Geometrice

Mediu#1Progresii GeometriceMatematică financiară
Un împrumut de 50.000 lei este contractat la o dobândă anuală de 6%, compusă anual. Împrumutul trebuie rambursat în 5 ani prin plăți anuale egale. a) Calculați valoarea plății anuale. b) Întocmiți un tabel de amortizare care să indice pentru fiecare an: soldul inițial, dobânda, rambursarea principalului și soldul final.
Ușor#2Progresii GeometriceLogaritmiMatematică financiară
O persoană depune 5000 de lei într-un cont bancar care oferă o dobândă anuală de 5%, compusă anual. După câți ani suma va depăși 7000 de lei? (Se consideră log⁡1.05≈0.0212\log 1.05 \approx 0.0212 și log⁡1.4≈0.1461\log 1.4 \approx 0.1461)
Mediu#3Progresii GeometriceLogaritmiMatematică aplicată
La deschiderea unui lac de agrement, numărul de vizitatori în prima zi a fost de 500. Se estimează că numărul de vizitatori crește cu 10% în fiecare zi față de ziua precedentă. Determinați după câte zile numărul total de vizitatori depășește 10000.
Mediu#4Progresii GeometriceNumere ComplexeȘiruri de numere reale
Fie z=(0,1)∈Cz = (0,1) \in \mathbb{C}. Exprimați ∑k=0nzk\sum_{k=0}^{n} z^k în funcție de întregul pozitiv nn.
Vezi toate problemele de Progresii Geometrice →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Progresii Geometrice cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.