MediuIntegrale definiteClasa 12

Problemă rezolvată de Integrale definite

MediuIntegrale definiteȘiruri de numere realePrimitive
Pentru n∈Nn \in \mathbb{N}, se definește In=∫01xnexdxI_n = \int_0^1 x^n e^x dx. a) Demonstrați că pentru orice n≥0n \geq 0, are loc relația In+1=e−(n+1)InI_{n+1} = e - (n+1)I_n. b) Calculați I0I_0 și I1I_1.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Pentru demonstrație, folosiți integrarea prin părți: In+1=∫01xn+1exdxI_{n+1} = \int_0^1 x^{n+1} e^x dx. Alegeți u=xn+1u = x^{n+1}, dv=exdxdv = e^x dx, deci du=(n+1)xndxdu = (n+1)x^n dx, v=exv = e^x. Aplicați ∫udv=uv−∫vdu\int u dv = uv - \int v du pentru a obține In+1=[xn+1ex]01−(n+1)∫01xnexdx=e−(n+1)InI_{n+1} = [x^{n+1} e^x]_0^1 - (n+1)\int_0^1 x^n e^x dx = e - (n+1)I_n.
23 puncte
Calculați I0=∫01exdx=[ex]01=e−1I_0 = \int_0^1 e^x dx = [e^x]_0^1 = e - 1.
33 puncte
Folosind relația de recurență pentru n=0n=0, I1=e−1⋅I0=e−(e−1)=1I_1 = e - 1 \cdot I_0 = e - (e - 1) = 1. Alternativ, calculați direct I1=∫01xexdxI_1 = \int_0^1 x e^x dx prin integrare prin părți.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Integrale definite

Mediu#1Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Calculați aria suprafeței plane mărginite de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+2x+3y = -x^2 + 2x + 3.
Mediu#2Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Un teren are forma mărginită de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+6x−5y = -x^2 + 6x - 5. Calculați aria acestui teren.
Ușor#3Integrale definiteMatematică aplicatăPrimitive
O companie estimează că profitul său marginal (în mii de euro) este dat de funcția P′(x)=10−0.1xP'(x) = 10 - 0.1x, unde xx este numărul de unități produse. Dacă profitul total este zero atunci când nu se produce nimic, determinați profitul total pentru o producție de 100100 de unități.
Mediu#4Integrale definiteArii și volume
Calculați aria domeniului plan mărginit de curbele y=x2y = x^2, y=2x+3y = 2x + 3, axa Oy și dreapta x=2x = 2.
Vezi toate problemele de Integrale definite →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Integrale definite cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.