MediuProgresii GeometriceClasa 9

Problemă rezolvată de Progresii Geometrice

MediuProgresii GeometriceAlgebră și Calcule cu Numere RealeSisteme de Ecuații Neliniare
Fie (an)(a_n) o progresie geometrică cu rația q>0q > 0. Dacă a1+a2+a3=14a_1 + a_2 + a_3 = 14 și a12+a22+a32=84a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 = 84, determinați primul termen a1a_1 și rația qq.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Scriem termenii progresiei: a1a_1, a2=a1qa_2 = a_1 q, a3=a1q2a_3 = a_1 q^2.
23 puncte
Formăm sistemul de ecuații: a1(1+q+q2)=14a_1(1 + q + q^2) = 14 și a12(1+q2+q4)=84a_1^2(1 + q^2 + q^4) = 84.
32 puncte
Observăm că 1+q2+q4=(1+q+q2)(1−q+q2)1 + q^2 + q^4 = (1 + q + q^2)(1 - q + q^2). Înlocuim în a doua ecuație: a12(1+q+q2)(1−q+q2)=84a_1^2 (1 + q + q^2)(1 - q + q^2) = 84. Din prima ecuație, a1(1+q+q2)=14a_1(1 + q + q^2) = 14, deci 14a1(1−q+q2)=8414 a_1 (1 - q + q^2) = 84 sau a1(1−q+q2)=6a_1 (1 - q + q^2) = 6.
42 puncte
Avem sistemul simplificat: a1(1+q+q2)=14a_1(1 + q + q^2) = 14 și a1(1−q+q2)=6a_1(1 - q + q^2) = 6. Scăzând, obținem 2a1q=82a_1 q = 8, deci a1q=4a_1 q = 4. Înlocuind a1=4qa_1 = \frac{4}{q} în prima ecuație, avem 4q(1+q+q2)=14\frac{4}{q}(1 + q + q^2) = 14, care duce la 4+4q+4q2=14q4 + 4q + 4q^2 = 14q, adică 4q2−10q+4=04q^2 - 10q + 4 = 0 sau 2q2−5q+2=02q^2 - 5q + 2 = 0. Rezolvăm: Δ=25−16=9\Delta = 25 - 16 = 9, deci q=5±34q = \frac{5 \pm 3}{4}. Obținem q=2q = 2 sau q=12q = \frac{1}{2}. Pentru q=2q = 2, a1=2a_1 = 2; pentru q=12q = \frac{1}{2}, a1=8a_1 = 8.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Progresii Geometrice

Mediu#1Progresii GeometriceMatematică financiară
Un împrumut de 50.000 lei este contractat la o dobândă anuală de 6%, compusă anual. Împrumutul trebuie rambursat în 5 ani prin plăți anuale egale. a) Calculați valoarea plății anuale. b) Întocmiți un tabel de amortizare care să indice pentru fiecare an: soldul inițial, dobânda, rambursarea principalului și soldul final.
Ușor#2Progresii GeometriceLogaritmiMatematică financiară
O persoană depune 5000 de lei într-un cont bancar care oferă o dobândă anuală de 5%, compusă anual. După câți ani suma va depăși 7000 de lei? (Se consideră log⁡1.05≈0.0212\log 1.05 \approx 0.0212 și log⁡1.4≈0.1461\log 1.4 \approx 0.1461)
Mediu#3Progresii GeometriceLogaritmiMatematică aplicată
La deschiderea unui lac de agrement, numărul de vizitatori în prima zi a fost de 500. Se estimează că numărul de vizitatori crește cu 10% în fiecare zi față de ziua precedentă. Determinați după câte zile numărul total de vizitatori depășește 10000.
Mediu#4Progresii GeometriceNumere ComplexeȘiruri de numere reale
Fie z=(0,1)∈Cz = (0,1) \in \mathbb{C}. Exprimați ∑k=0nzk\sum_{k=0}^{n} z^k în funcție de întregul pozitiv nn.
Vezi toate problemele de Progresii Geometrice →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Progresii Geometrice cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.