MediuProgresii GeometriceClasa 10

Problemă rezolvată de Progresii Geometrice

MediuProgresii GeometriceLogaritmiAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie (an)(a_n) o progresie geometrică cu termenii pozitivi. Știind că log⁡2(a1⋅a2⋅a3)=9\log_{2}(a_1 \cdot a_2 \cdot a_3) = 9 și log⁡2(a1+a2+a3)=5\log_{2}(a_1 + a_2 + a_3) = 5, determinați primii trei termeni ai progresiei.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Exprimă termenii: a1=a1a_1 = a_1, a2=a1qa_2 = a_1 q, a3=a1q2a_3 = a_1 q^2, unde qq este rația. Produsul este a13q3a_1^3 q^3, iar suma este a1(1+q+q2)a_1(1 + q + q^2).
23 puncte
Din condițiile date: log⁡2(a13q3)=9⇒a13q3=29=512\log_{2}(a_1^3 q^3) = 9 \Rightarrow a_1^3 q^3 = 2^9 = 512 și log⁡2(a1(1+q+q2))=5⇒a1(1+q+q2)=25=32\log_{2}(a_1(1 + q + q^2)) = 5 \Rightarrow a_1(1 + q + q^2) = 2^5 = 32.
33 puncte
Din prima ecuație, (a1q)3=512⇒a1q=8(a_1 q)^3 = 512 \Rightarrow a_1 q = 8. Înlocuind în a doua: a1(1+q+q2)=32a_1(1 + q + q^2) = 32. Cum a1=8qa_1 = \frac{8}{q}, obținem 8q(1+q+q2)=32⇒8(1+q+q2)=32q⇒1+q+q2=4q⇒q2−3q+1=0\frac{8}{q}(1 + q + q^2) = 32 \Rightarrow 8(1 + q + q^2) = 32q \Rightarrow 1 + q + q^2 = 4q \Rightarrow q^2 - 3q + 1 = 0.
42 puncte
Rezolvă ecuația q2−3q+1=0q^2 - 3q + 1 = 0: q=3±52q = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}. Ambele valori sunt pozitive. Pentru q1=3+52q_1 = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}, a1=8q1=163+5=4(3−5)a_1 = \frac{8}{q_1} = \frac{16}{3 + \sqrt{5}} = 4(3 - \sqrt{5}), deci termenii sunt a1=4(3−5)a_1 = 4(3 - \sqrt{5}), a2=8a_2 = 8, a3=4(3+5)a_3 = 4(3 + \sqrt{5}). Pentru q2=3−52q_2 = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}, a1=4(3+5)a_1 = 4(3 + \sqrt{5}), a2=8a_2 = 8, a3=4(3−5)a_3 = 4(3 - \sqrt{5}).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Progresii Geometrice

Mediu#1Progresii GeometriceMatematică financiară
Un împrumut de 50.000 lei este contractat la o dobândă anuală de 6%, compusă anual. Împrumutul trebuie rambursat în 5 ani prin plăți anuale egale. a) Calculați valoarea plății anuale. b) Întocmiți un tabel de amortizare care să indice pentru fiecare an: soldul inițial, dobânda, rambursarea principalului și soldul final.
Ușor#2Progresii GeometriceLogaritmiMatematică financiară
O persoană depune 5000 de lei într-un cont bancar care oferă o dobândă anuală de 5%, compusă anual. După câți ani suma va depăși 7000 de lei? (Se consideră log⁡1.05≈0.0212\log 1.05 \approx 0.0212 și log⁡1.4≈0.1461\log 1.4 \approx 0.1461)
Mediu#3Progresii GeometriceLogaritmiMatematică aplicată
La deschiderea unui lac de agrement, numărul de vizitatori în prima zi a fost de 500. Se estimează că numărul de vizitatori crește cu 10% în fiecare zi față de ziua precedentă. Determinați după câte zile numărul total de vizitatori depășește 10000.
Mediu#4Progresii GeometriceNumere ComplexeȘiruri de numere reale
Fie z=(0,1)∈Cz = (0,1) \in \mathbb{C}. Exprimați ∑k=0nzk\sum_{k=0}^{n} z^k în funcție de întregul pozitiv nn.
Vezi toate problemele de Progresii Geometrice →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Progresii Geometrice cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.