MediuMatriciClasa 11

Problemă rezolvată de Matrici

MediuMatriciDeterminanțiAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie matricea M=(k101k101k)M = \begin{pmatrix} k & 1 & 0 \\ 1 & k & 1 \\ 0 & 1 & k \end{pmatrix}, cu k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați pentru ce valori ale lui kk matricea MM este inversabilă. b) Pentru k=2k=2, calculați inversa matricei MM. c) Rezolvați ecuația matriceală M⋅X=I3M \cdot X = I_3, unde I3I_3 este matricea identitate de ordinul 3.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Se calculează determinantul matricei MM: det⁡(M)=k⋅∣k11k∣−1⋅∣110k∣+0⋅∣1k01∣=k(k2−1)−1(k−0)=k3−k−k=k3−2k\det(M) = k \cdot \begin{vmatrix} k & 1 \\ 1 & k \end{vmatrix} - 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & k \end{vmatrix} + 0 \cdot \begin{vmatrix} 1 & k \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = k(k^2 - 1) - 1(k - 0) = k^3 - k - k = k^3 - 2k.
21 punct
Matricea MM este inversabilă dacă det⁡(M)≠0\det(M) \neq 0, deci k3−2k≠0⇒k(k2−2)≠0k^3 - 2k \neq 0 \Rightarrow k(k^2 - 2) \neq 0, adică k≠0,k≠2,k≠−2k \neq 0, k \neq \sqrt{2}, k \neq -\sqrt{2}.
34 puncte
Pentru k=2k=2, det⁡(M)=8−4=4\det(M) = 8 - 4 = 4. Se calculează M−1M^{-1} folosind metoda adjunctei: matricea adjunctă se obține din complemenții algebrici, apoi M−1=1det⁡(M)⋅adj(M)M^{-1} = \frac{1}{\det(M)} \cdot \text{adj}(M). Rezultă M−1=14(3−21−24−21−23)M^{-1} = \frac{1}{4} \begin{pmatrix} 3 & -2 & 1 \\ -2 & 4 & -2 \\ 1 & -2 & 3 \end{pmatrix}.
42 puncte
Ecuația M⋅X=I3M \cdot X = I_3 are soluția X=M−1X = M^{-1}, deci pentru k=2k=2, X=14(3−21−24−21−23)X = \frac{1}{4} \begin{pmatrix} 3 & -2 & 1 \\ -2 & 4 & -2 \\ 1 & -2 & 3 \end{pmatrix}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Matrici

Mediu#1MatriciInele și corpuri
Fie mulțimea M={aI2+bJ∣a,b∈R}M = \{ aI_2 + bJ \mid a, b \in \mathbb{R} \} unde I2I_2 este matricea identitate de ordin 2 și J=(01−10)J = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}. Arătați că MM cu adunarea și înmulțirea matricelor formează un inel comutativ. Determinați dacă este un corp și, dacă nu, găsiți elementele inversabile.
Mediu#2MatriciInele și corpuri
Fie M={(ab0c)∣a,b,c∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix} \mid a, b, c \in \mathbb{R} \right\} mulțimea matricelor triunghiulare superioare de ordinul 2. Se definește operația de adunare ca adunarea obișnuită a matricelor și operația de înmulțire ca înmulțirea obișnuită a matricelor. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel. Dacă da, este el un corp? Justificați răspunsul.
Mediu#3MatriciInele și corpuri
Fie mulțimea M={(ab−ba)∣a,b∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix} \mid a, b \in \mathbb{R} \right\}. Arătați că (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un corp, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea matricelor. Apoi, rezolvați în acest corp ecuația X2=−IX^2 = -I, unde II este matricea identitate.
Mediu#4MatriciSisteme de Ecuații LiniareMatematică aplicată
Într-o uzină, se fabrică trei tipuri de piese: P1, P2 și P3. Timpii necesari (în minute) pentru fiecare piesă pe trei utilaje diferite sunt dați de matricea A=(5867496105)A = \begin{pmatrix} 5 & 8 & 6 \\ 7 & 4 & 9 \\ 6 & 10 & 5 \end{pmatrix}, unde rândul ii corespunde utilajului UiU_i și coloana jj piesei PjP_j. Dacă utilajele sunt disponibile timp de 120, 150 și 180 de minute respectiv, și se dorește utilizarea integrală a timpului, determinați câte piese de fiecare tip pot fi produse prin rezolvarea sistemului liniar folosind metoda matriceală. (Presupunem că numărul de piese este număr întreg pozitiv.)
Vezi toate problemele de Matrici →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Matrici cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.