MediuNumere ComplexeClasa 10

Problemă rezolvată de Numere Complexe

MediuNumere ComplexeProgresii Geometrice
Fie z1,z2,z3z_1, z_2, z_3 numere complexe care formează o progresie geometrică cu rația qq, unde qq este un număr complex. Dacă z1+z2+z3=0z_1 + z_2 + z_3 = 0 și ∣z1∣=1|z_1| = 1, determinați z1,z2,z3z_1, z_2, z_3 și calculați suma S=z12024+z22024+z32024S = z_1^{2024} + z_2^{2024} + z_3^{2024}.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Scriem condițiile progresiei geometrice: z2=z1qz_2 = z_1 q și z3=z1q2z_3 = z_1 q^2. Apoi, din z1+z2+z3=0z_1 + z_2 + z_3 = 0, obținem z1(1+q+q2)=0z_1(1 + q + q^2) = 0.
23 puncte
Deoarece ∣z1∣=1|z_1| = 1, avem z1≠0z_1 \neq 0, deci 1+q+q2=01 + q + q^2 = 0. Această ecuație are soluțiile q=−1±i32q = \frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2}, care sunt rădăcinile cubice ale unității diferite de 11, adică q=ϵq = \epsilon sau q=ϵ2q = \epsilon^2, unde ϵ=cos⁡2π3+isin⁡2π3\epsilon = \cos\frac{2\pi}{3} + i\sin\frac{2\pi}{3}.
32 puncte
Folosind ∣z1∣=1|z_1| = 1, putem alege z1=1z_1 = 1 (sau orice număr complex cu modulul 11, dar pentru simplitate, luăm z1=1z_1 = 1). Atunci z2=qz_2 = q și z3=q2z_3 = q^2.
42 puncte
Calculăm S=12024+q2024+q2⋅2024S = 1^{2024} + q^{2024} + q^{2 \cdot 2024}. Observăm că q3=1q^3 = 1, deci q2024=q3⋅674+2=q2q^{2024} = q^{3 \cdot 674 + 2} = q^2 și q4048=q3⋅1349+1=qq^{4048} = q^{3 \cdot 1349 + 1} = q. Astfel, S=1+q2+q=0S = 1 + q^2 + q = 0, deoarece 1+q+q2=01 + q + q^2 = 0. Suma punctelor: 10.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Numere Complexe

Mediu#1Numere ComplexeInele și corpuri
Fie mulțimea K={a+bi∣a,b∈Q}K = \{ a + bi \mid a, b \in \mathbb{Q} \}. Arătați că KK este un corp în raport cu adunarea și înmulțirea numerelor complexe. Determinați toate elementele x∈Kx \in K care satisfac x2=−1x^2 = -1.
Greu#2Numere Complexe
Fie z1,z2∈Cz_1, z_2 \in \mathbb{C} astfel încât ∣z1∣=∣z2∣=1|z_1| = |z_2| = 1 și z1+z2=1z_1 + z_2 = 1. a) Demonstrați că z1⋅z2=1z_1 \cdot z_2 = 1. b) Determinați z1z_1 și z2z_2 în forma trigonometrică. c) Calculați (z1z2)2024+(z2z1)2024\left( \frac{z_1}{z_2} \right)^{2024} + \left( \frac{z_2}{z_1} \right)^{2024}.
Greu#3Numere Complexe
Fie z∈Cz \in \mathbb{C} astfel încât ∣z∣=1|z| = 1 și arg⁡(z)∈(0,π2)\arg(z) \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right). a) Demonstrați că ∣1+z∣2+∣1−z∣2=4|1+z|^2 + |1-z|^2 = 4. b) Determinați locul geometric al punctelor M(z)M(z) pentru care ∣1+z∣=2|1+z| = \sqrt{2}. c) Calculați aria maximă a triunghiului cu vârfurile în punctele afixelor 00, zz, și 1z\frac{1}{z}.
Greu#4Numere Complexe
Fie A=(i1−1−i)A = \begin{pmatrix} i & 1 \\ -1 & -i \end{pmatrix}, unde i2=−1i^2 = -1. a) Calculați A2A^2 și A3A^3. b) Demonstrați că An=in−1AA^n = i^{n-1} A pentru orice n≥1n \geq 1 întreg. c) Determinați det⁡(A2025+A2024)\det(A^{2025} + A^{2024}).
Vezi toate problemele de Numere Complexe →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Numere Complexe cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.