MediuNumere ComplexeClasa 10

Problemă rezolvată de Numere Complexe

MediuNumere ComplexePolinoame
Fie numărul complex zz care verifică ecuația z2−2z+5=0z^2 - 2z + 5 = 0. Calculați z10z^{10} și exprimați-l în forma algebrică.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Rezolvăm ecuația z2−2z+5=0z^2 - 2z + 5 = 0. Discriminantul este Δ=(−2)2−4⋅1⋅5=4−20=−16\Delta = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 4 - 20 = -16. Rădăcinile sunt z1,2=2±−162=2±4i2=1±2iz_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{-16}}{2} = \frac{2 \pm 4i}{2} = 1 \pm 2i. Deci z1=1+2iz_1 = 1 + 2i și z2=1−2iz_2 = 1 - 2i.
24 puncte
Pentru a calcula z10z^{10}, folosim forma trigonometrică. Pentru z1=1+2iz_1 = 1 + 2i, modulul este ∣z1∣=12+22=5|z_1| = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}, iar argumentul θ\theta cu cos⁡θ=15\cos\theta = \frac{1}{\sqrt{5}} și sin⁡θ=25\sin\theta = \frac{2}{\sqrt{5}}. Atunci z110=(5)10(cos⁡(10θ)+isin⁡(10θ))=55(cos⁡(10θ)+isin⁡(10θ))z_1^{10} = (\sqrt{5})^{10} (\cos(10\theta) + i\sin(10\theta)) = 5^5 (\cos(10\theta) + i\sin(10\theta)). Folosind formule trigonometrice sau calcule algebrice, obținem cos⁡(10θ)\cos(10\theta) și sin⁡(10θ)\sin(10\theta).
33 puncte
Calculăm direct: (1+2i)2=−3+4i(1+2i)^2 = -3+4i, (1+2i)4=(−3+4i)2=−7−24i(1+2i)^4 = (-3+4i)^2 = -7-24i, (1+2i)8=(−7−24i)2=−527+336i(1+2i)^8 = (-7-24i)^2 = -527+336i, și (1+2i)10=(1+2i)8⋅(1+2i)2=(−527+336i)(−3+4i)=237−3116i(1+2i)^{10} = (1+2i)^8 \cdot (1+2i)^2 = (-527+336i)(-3+4i) = 237 -3116i. Similar, pentru z2=1−2iz_2 = 1-2i, z210=237+3116iz_2^{10} = 237 +3116i. Exprimăm rezultatele în forma algebrică.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Numere Complexe

Mediu#1Numere ComplexeInele și corpuri
Fie mulțimea K={a+bi∣a,b∈Q}K = \{ a + bi \mid a, b \in \mathbb{Q} \}. Arătați că KK este un corp în raport cu adunarea și înmulțirea numerelor complexe. Determinați toate elementele x∈Kx \in K care satisfac x2=−1x^2 = -1.
Greu#2Numere Complexe
Fie z1,z2∈Cz_1, z_2 \in \mathbb{C} astfel încât ∣z1∣=∣z2∣=1|z_1| = |z_2| = 1 și z1+z2=1z_1 + z_2 = 1. a) Demonstrați că z1⋅z2=1z_1 \cdot z_2 = 1. b) Determinați z1z_1 și z2z_2 în forma trigonometrică. c) Calculați (z1z2)2024+(z2z1)2024\left( \frac{z_1}{z_2} \right)^{2024} + \left( \frac{z_2}{z_1} \right)^{2024}.
Greu#3Numere Complexe
Fie z∈Cz \in \mathbb{C} astfel încât ∣z∣=1|z| = 1 și arg⁡(z)∈(0,π2)\arg(z) \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right). a) Demonstrați că ∣1+z∣2+∣1−z∣2=4|1+z|^2 + |1-z|^2 = 4. b) Determinați locul geometric al punctelor M(z)M(z) pentru care ∣1+z∣=2|1+z| = \sqrt{2}. c) Calculați aria maximă a triunghiului cu vârfurile în punctele afixelor 00, zz, și 1z\frac{1}{z}.
Greu#4Numere Complexe
Fie A=(i1−1−i)A = \begin{pmatrix} i & 1 \\ -1 & -i \end{pmatrix}, unde i2=−1i^2 = -1. a) Calculați A2A^2 și A3A^3. b) Demonstrați că An=in−1AA^n = i^{n-1} A pentru orice n≥1n \geq 1 întreg. c) Determinați det⁡(A2025+A2024)\det(A^{2025} + A^{2024}).
Vezi toate problemele de Numere Complexe →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Numere Complexe cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.