MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieNumere Complexe
Pe mulțimea numerelor complexe C\mathbb{C} se definește operația ∘\circ prin z∘w=z+w+i⋅z⋅wz \circ w = z + w + i \cdot z \cdot w, unde i2=−1i^2 = -1. Demonstrați că operația ∘\circ este asociativă, găsiți elementul neutru și determinați pentru ce numere complexe zz există invers față de această operație.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Asociativitatea: Calculăm (z∘w)∘u=(z+w+izw)+u+i(z+w+izw)u=z+w+u+i(zw+zu+wu)−zwu(z \circ w) \circ u = (z + w + i z w) + u + i (z + w + i z w) u = z + w + u + i(z w + z u + w u) - z w u și z∘(w∘u)=z+(w+u+iwu)+iz(w+u+iwu)=z+w+u+i(zw+zu+wu)−zwuz \circ (w \circ u) = z + (w + u + i w u) + i z (w + u + i w u) = z + w + u + i(z w + z u + w u) - z w u, care sunt egale, deci operația este asociativă.
23 puncte
Elementul neutru ee: Din z∘e=zz \circ e = z, obținem z+e+ize=z⇒e(1+iz)=0z + e + i z e = z \Rightarrow e(1 + i z) = 0 pentru orice zz, deci e=0e = 0 verifică, iar 0∘z=z0 \circ z = z, așadar e=0e = 0 este elementul neutru.
33 puncte
Inversul: Pentru zz, inversul z′z' satisface z∘z′=0⇒z+z′+izz′=0⇒z′(1+iz)=−z⇒z′=−z1+izz \circ z' = 0 \Rightarrow z + z' + i z z' = 0 \Rightarrow z'(1 + i z) = -z \Rightarrow z' = \frac{-z}{1 + i z}, pentru 1+iz≠01 + i z \neq 0. Dacă 1+iz=01 + i z = 0, adică z=iz = i, atunci ecuația devine i=0i = 0, fals, deci z=iz = i nu are invers. Elementele inversabile sunt z∈C∖{i}z \in \mathbb{C} \setminus \{i\}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.