MediuNumere ComplexeClasa 10

Problemă rezolvată de Numere Complexe

MediuNumere ComplexePolinoameGeometrie Analitică
Fie polinomul P(X)=X4+1P(X) = X^4 + 1. Determinați rădăcinile complexe ale ecuației P(X)=0P(X) = 0 și arătați că acestea sunt vârfurile unui pătrat în planul complex. Calculați aria acestui pătrat.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Se rezolvă ecuația X4+1=0X^4 + 1 = 0. Scriem −1=eiπ-1 = e^{i\pi}, apoi rădăcinile sunt zk=ei(π+2kπ)/4z_k = e^{i(\pi + 2k\pi)/4} pentru k=0,1,2,3k = 0,1,2,3. Explicit, z0=eiπ/4=22+i22z_0 = e^{i\pi/4} = \frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}, z1=ei3π/4=−22+i22z_1 = e^{i3\pi/4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}, z2=ei5π/4=−22−i22z_2 = e^{i5\pi/4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2}, z3=ei7π/4=22−i22z_3 = e^{i7\pi/4} = \frac{\sqrt{2}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2}.
23 puncte
Se verifică că distanțele dintre rădăcini consecutive sunt egale: ∣z1−z0∣=∣z2−z1∣=∣z3−z2∣=∣z0−z3∣=2|z_1 - z_0| = |z_2 - z_1| = |z_3 - z_2| = |z_0 - z_3| = \sqrt{2}, iar unghiurile dintre vectorii corespunzători sunt de 90∘90^\circ, confirmând că formează un pătrat.
33 puncte
Aria pătratului este latura la pătrat. Latura este 2\sqrt{2}, deci aria este (2)2=2(\sqrt{2})^2 = 2.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Numere Complexe

Mediu#1Numere ComplexeInele și corpuri
Fie mulțimea K={a+bi∣a,b∈Q}K = \{ a + bi \mid a, b \in \mathbb{Q} \}. Arătați că KK este un corp în raport cu adunarea și înmulțirea numerelor complexe. Determinați toate elementele x∈Kx \in K care satisfac x2=−1x^2 = -1.
Greu#2Numere Complexe
Fie z1,z2∈Cz_1, z_2 \in \mathbb{C} astfel încât ∣z1∣=∣z2∣=1|z_1| = |z_2| = 1 și z1+z2=1z_1 + z_2 = 1. a) Demonstrați că z1⋅z2=1z_1 \cdot z_2 = 1. b) Determinați z1z_1 și z2z_2 în forma trigonometrică. c) Calculați (z1z2)2024+(z2z1)2024\left( \frac{z_1}{z_2} \right)^{2024} + \left( \frac{z_2}{z_1} \right)^{2024}.
Greu#3Numere Complexe
Fie z∈Cz \in \mathbb{C} astfel încât ∣z∣=1|z| = 1 și arg⁡(z)∈(0,π2)\arg(z) \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right). a) Demonstrați că ∣1+z∣2+∣1−z∣2=4|1+z|^2 + |1-z|^2 = 4. b) Determinați locul geometric al punctelor M(z)M(z) pentru care ∣1+z∣=2|1+z| = \sqrt{2}. c) Calculați aria maximă a triunghiului cu vârfurile în punctele afixelor 00, zz, și 1z\frac{1}{z}.
Greu#4Numere Complexe
Fie A=(i1−1−i)A = \begin{pmatrix} i & 1 \\ -1 & -i \end{pmatrix}, unde i2=−1i^2 = -1. a) Calculați A2A^2 și A3A^3. b) Demonstrați că An=in−1AA^n = i^{n-1} A pentru orice n≥1n \geq 1 întreg. c) Determinați det⁡(A2025+A2024)\det(A^{2025} + A^{2024}).
Vezi toate problemele de Numere Complexe →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Numere Complexe cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.