MediuEcuații logaritmiceClasa 10

Problemă rezolvată de Ecuații logaritmice

MediuEcuații logaritmiceEcuații iraționaleDomeniul de definiție al funcțiilor
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log⁡2(x+3−1)=log⁡4(x−1)\log_2(\sqrt{x+3} - 1) = \log_4(x-1).

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Condiții de existență: x+3−1>0\sqrt{x+3} - 1 > 0, x+3≥0x+3 \geq 0, și x−1>0x-1 > 0. Din x+3>1\sqrt{x+3} > 1 avem x+3>1x+3 > 1 deci x>−2x > -2, din x+3≥0x+3 \geq 0 avem x≥−3x \geq -3, și din x−1>0x-1 > 0 avem x>1x > 1. Intersecția este x>1x > 1.
23 puncte
Transformați log⁡4(x−1)\log_4(x-1) în baza 2: log⁡4(x−1)=log⁡2(x−1)log⁡2(4)=log⁡2(x−1)2\log_4(x-1) = \frac{\log_2(x-1)}{\log_2(4)} = \frac{\log_2(x-1)}{2}. Ecuația devine: log⁡2(x+3−1)=12log⁡2(x−1)\log_2(\sqrt{x+3} - 1) = \frac{1}{2} \log_2(x-1).
33 puncte
Folosiți 12log⁡2(x−1)=log⁡2(x−1)\frac{1}{2} \log_2(x-1) = \log_2(\sqrt{x-1}), deci log⁡2(x+3−1)=log⁡2(x−1)\log_2(\sqrt{x+3} - 1) = \log_2(\sqrt{x-1}). Din injectivitatea logaritmului, x+3−1=x−1\sqrt{x+3} - 1 = \sqrt{x-1}.
42 puncte
Rezolvați ecuația irațională: x+3=x−1+1\sqrt{x+3} = \sqrt{x-1} + 1. Ridicați la pătrat: x+3=(x−1)+2x−1+1x+3 = (x-1) + 2\sqrt{x-1} + 1, deci x+3=x+2x−1x+3 = x + 2\sqrt{x-1}, așadar 2x−1=32\sqrt{x-1} = 3, de unde x−1=32\sqrt{x-1} = \frac{3}{2}, deci x−1=94x-1 = \frac{9}{4} și x=134x = \frac{13}{4}. Verificați: x=134>1x = \frac{13}{4} > 1 și 134+3−1=254−1=52−1=32>0\sqrt{\frac{13}{4}+3} - 1 = \sqrt{\frac{25}{4}} - 1 = \frac{5}{2} - 1 = \frac{3}{2} > 0, deci este soluție. Mulțimea soluțiilor este {134}\left\{ \frac{13}{4} \right\}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Ecuații logaritmice

Mediu#1Ecuații logaritmiceEcuații iraționale
Rezolvați ecuația log⁡2x+log⁡2x3=2.\sqrt{\log_2 x} + \sqrt[3]{\log_2 x} = 2.
Mediu#2Ecuații logaritmiceLogaritmiEcuații exponentiale
Rezolvați ecuația: 22log⁡4x−1−7log⁡4x=7log⁡4x−1−3⋅4log⁡4x2^{2\log_{4}x-1}-7^{\log_{4}x}=7^{\log_{4}x-1}-3\cdot4^{\log_{4}x}
Mediu#3Ecuații logaritmiceEcuații exponentiale
Rezolvați ecuația: 7log⁡x−5log⁡x+1=3⋅5log⁡x−1−13⋅7log⁡x−17^{\log x} - 5^{\log x + 1} = 3\cdot5^{\log x - 1} - 13\cdot7^{\log x - 1}.
Mediu#4Ecuații logaritmiceTrigonometrie
Rezolvați ecuația: 3log⁡(tan⁡x)−2⋅3log⁡(cot⁡x)+1=13^{\log(\tan x)} - 2\cdot 3^{\log(\cot x)} + 1 = 1
Vezi toate problemele de Ecuații logaritmice →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Ecuații logaritmice cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.