MediuProgresii GeometriceClasa 10

Problemă rezolvată de Progresii Geometrice

MediuProgresii GeometriceNumere Complexe
Se consideră progresia geometrică (zn)n≥1(z_n)_{n \ge 1} de numere complexe, cu z1=3+4iz_1 = 3+4i și z3=−7+24iz_3 = -7+24i. Determinați rația qq a progresiei și calculați suma primilor 6 termeni.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Din definiția progresiei geometrice, z3=z1⋅q2z_3 = z_1 \cdot q^2, deci q2=z3z1=−7+24i3+4iq^2 = \frac{z_3}{z_1} = \frac{-7+24i}{3+4i}. Se calculează: −7+24i3+4i=(−7+24i)(3−4i)(3+4i)(3−4i)=75+100i25=3+4i\frac{-7+24i}{3+4i} = \frac{(-7+24i)(3-4i)}{(3+4i)(3-4i)} = \frac{75+100i}{25} = 3+4i. Astfel, q2=3+4iq^2 = 3+4i.
23 puncte
Se rezolvă ecuația q2=3+4iq^2 = 3+4i. Notăm q=a+biq = a+bi, cu a,b∈Ra,b \in \mathbb{R}. Atunci (a+bi)2=a2−b2+2abi=3+4i(a+bi)^2 = a^2 - b^2 + 2abi = 3+4i, deci {a2−b2=32ab=4\begin{cases} a^2 - b^2 = 3 \\ 2ab = 4 \end{cases}. Se obține ab=2ab=2 și a2−b2=3a^2 - b^2 = 3. Rezolvând, se găsesc soluțiile q=2+iq = 2+i și q=−2−iq = -2-i.
34 puncte
Pentru fiecare valoare a lui qq, se calculează suma S6=z1⋅1−q61−qS_6 = z_1 \cdot \frac{1-q^6}{1-q}, cu q≠1q \neq 1. Pentru q=2+iq=2+i: q2=3+4iq^2 = 3+4i, q4=(q2)2=(3+4i)2=−7+24iq^4 = (q^2)^2 = (3+4i)^2 = -7+24i, q6=q2⋅q4=(3+4i)(−7+24i)=−117+44iq^6 = q^2 \cdot q^4 = (3+4i)(-7+24i) = -117+44i. Atunci 1−q6=118−44i1-q^6 = 118-44i, 1−q=−1−i1-q = -1-i, deci S6=(3+4i)⋅118−44i−1−i=−435+95iS_6 = (3+4i) \cdot \frac{118-44i}{-1-i} = -435+95i. Pentru q=−2−iq=-2-i, calcule similare conduc la S6=3−95iS_6 = 3-95i (se lasă ca exercițiu verificarea).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Progresii Geometrice

Mediu#1Progresii GeometriceMatematică financiară
Un împrumut de 50.000 lei este contractat la o dobândă anuală de 6%, compusă anual. Împrumutul trebuie rambursat în 5 ani prin plăți anuale egale. a) Calculați valoarea plății anuale. b) Întocmiți un tabel de amortizare care să indice pentru fiecare an: soldul inițial, dobânda, rambursarea principalului și soldul final.
Ușor#2Progresii GeometriceLogaritmiMatematică financiară
O persoană depune 5000 de lei într-un cont bancar care oferă o dobândă anuală de 5%, compusă anual. După câți ani suma va depăși 7000 de lei? (Se consideră log⁡1.05≈0.0212\log 1.05 \approx 0.0212 și log⁡1.4≈0.1461\log 1.4 \approx 0.1461)
Mediu#3Progresii GeometriceLogaritmiMatematică aplicată
La deschiderea unui lac de agrement, numărul de vizitatori în prima zi a fost de 500. Se estimează că numărul de vizitatori crește cu 10% în fiecare zi față de ziua precedentă. Determinați după câte zile numărul total de vizitatori depășește 10000.
Mediu#4Progresii GeometriceNumere ComplexeȘiruri de numere reale
Fie z=(0,1)∈Cz = (0,1) \in \mathbb{C}. Exprimați ∑k=0nzk\sum_{k=0}^{n} z^k în funcție de întregul pozitiv nn.
Vezi toate problemele de Progresii Geometrice →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Progresii Geometrice cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.