MediuProgresii GeometriceClasa 10

Problemă rezolvată de Progresii Geometrice

MediuProgresii GeometriceLogaritmi
Fie (an)(a_n) o progresie geometrică cu rația q>0q > 0. Considerăm șirul (bn)(b_n) definit prin bn=log⁡2anb_n = \log_2 a_n. Dacă (bn)(b_n) este o progresie geometrică cu b1=1b_1 = 1 și b3=3b_3 = 3, determinați rația qq a progresiei (an)(a_n).

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Scriem condiția pentru (bn)(b_n) progresie geometrică: b22=b1⋅b3b_2^2 = b_1 \cdot b_3, deci b22=1⋅3=3b_2^2 = 1 \cdot 3 = 3.
23 puncte
Rezolvăm pentru b2b_2: b2=3b_2 = \sqrt{3} (considerând valoarea pozitivă, deoarece logaritmii sunt definiți pentru argumente pozitive, iar bnb_n este o progresie geometrică cu termeni reali).
33 puncte
Exprimăm ana_n în funcție de bnb_n: an=2bna_n = 2^{b_n}. Din progresia geometrică (an)(a_n), avem a2=a1⋅qa_2 = a_1 \cdot q, deci 2b2=2b1⋅q2^{b_2} = 2^{b_1} \cdot q. Astfel, q=2b2−b1=23−1q = 2^{b_2 - b_1} = 2^{\sqrt{3} - 1}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Progresii Geometrice

Mediu#1Progresii GeometriceMatematică financiară
Un împrumut de 50.000 lei este contractat la o dobândă anuală de 6%, compusă anual. Împrumutul trebuie rambursat în 5 ani prin plăți anuale egale. a) Calculați valoarea plății anuale. b) Întocmiți un tabel de amortizare care să indice pentru fiecare an: soldul inițial, dobânda, rambursarea principalului și soldul final.
Ușor#2Progresii GeometriceLogaritmiMatematică financiară
O persoană depune 5000 de lei într-un cont bancar care oferă o dobândă anuală de 5%, compusă anual. După câți ani suma va depăși 7000 de lei? (Se consideră log⁡1.05≈0.0212\log 1.05 \approx 0.0212 și log⁡1.4≈0.1461\log 1.4 \approx 0.1461)
Mediu#3Progresii GeometriceLogaritmiMatematică aplicată
La deschiderea unui lac de agrement, numărul de vizitatori în prima zi a fost de 500. Se estimează că numărul de vizitatori crește cu 10% în fiecare zi față de ziua precedentă. Determinați după câte zile numărul total de vizitatori depășește 10000.
Mediu#4Progresii GeometriceNumere ComplexeȘiruri de numere reale
Fie z=(0,1)∈Cz = (0,1) \in \mathbb{C}. Exprimați ∑k=0nzk\sum_{k=0}^{n} z^k în funcție de întregul pozitiv nn.
Vezi toate problemele de Progresii Geometrice →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Progresii Geometrice cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.