MediuEcuații logaritmiceClasa 10

Problemă rezolvată de Ecuații logaritmice

MediuEcuații logaritmiceAlgebră și Calcule cu Numere RealeDomeniul de definiție al funcțiilor
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația: log⁡12(x2−4x+3)+log⁡2(x−1)=1\log_{\frac{1}{2}}(x^2 - 4x + 3) + \log_2(x-1) = 1.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Determinarea condițiilor de existență: x2−4x+3>0x^2 - 4x + 3 > 0 și x−1>0x-1 > 0. Rezolvând, x2−4x+3>0⇒(x−1)(x−3)>0⇒x<1x^2 - 4x + 3 > 0 \Rightarrow (x-1)(x-3) > 0 \Rightarrow x < 1 sau x>3x > 3; x−1>0⇒x>1x-1 > 0 \Rightarrow x > 1. Intersecția este x>3x > 3, deci domeniul: x∈(3,∞)x \in (3, \infty).
23 puncte
Aplicarea proprietăților logaritmilor: log⁡12(x2−4x+3)=log⁡2(x2−4x+3)log⁡2(1/2)=−log⁡2(x2−4x+3)\log_{\frac{1}{2}}(x^2 - 4x + 3) = \frac{\log_2(x^2 - 4x + 3)}{\log_2(1/2)} = -\log_2(x^2 - 4x + 3). Ecuația devine: −log⁡2(x2−4x+3)+log⁡2(x−1)=1-\log_2(x^2 - 4x + 3) + \log_2(x-1) = 1, adică log⁡2(x−1x2−4x+3)=1\log_2\left(\frac{x-1}{x^2 - 4x + 3}\right) = 1.
33 puncte
Rezolvarea ecuației: x−1x2−4x+3=21=2\frac{x-1}{x^2 - 4x + 3} = 2^1 = 2. Dar x2−4x+3=(x−1)(x−3)x^2 - 4x + 3 = (x-1)(x-3), deci pentru x≠1x \neq 1 (asigurat de domeniu), avem 1x−3=2⇒1=2(x−3)⇒2x=7⇒x=72\frac{1}{x-3} = 2 \Rightarrow 1 = 2(x-3) \Rightarrow 2x = 7 \Rightarrow x = \frac{7}{2}.
42 puncte
Verificarea: x=72>3x = \frac{7}{2} > 3, deci este în domeniu. Soluția este x=72x = \frac{7}{2}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Ecuații logaritmice

Mediu#1Ecuații logaritmiceEcuații iraționale
Rezolvați ecuația log⁡2x+log⁡2x3=2.\sqrt{\log_2 x} + \sqrt[3]{\log_2 x} = 2.
Mediu#2Ecuații logaritmiceLogaritmiEcuații exponentiale
Rezolvați ecuația: 22log⁡4x−1−7log⁡4x=7log⁡4x−1−3⋅4log⁡4x2^{2\log_{4}x-1}-7^{\log_{4}x}=7^{\log_{4}x-1}-3\cdot4^{\log_{4}x}
Mediu#3Ecuații logaritmiceEcuații exponentiale
Rezolvați ecuația: 7log⁡x−5log⁡x+1=3⋅5log⁡x−1−13⋅7log⁡x−17^{\log x} - 5^{\log x + 1} = 3\cdot5^{\log x - 1} - 13\cdot7^{\log x - 1}.
Mediu#4Ecuații logaritmiceTrigonometrie
Rezolvați ecuația: 3log⁡(tan⁡x)−2⋅3log⁡(cot⁡x)+1=13^{\log(\tan x)} - 2\cdot 3^{\log(\cot x)} + 1 = 1
Vezi toate problemele de Ecuații logaritmice →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Ecuații logaritmice cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.