MediuIntegrale definiteClasa 12

Problemă rezolvată de Integrale definite

MediuIntegrale definiteArii și volumeFuncția de gradul al II-lea
Calculați aria domeniului mărginit de curbele y=x2y = x^2 și y=2x−x2y = 2x - x^2. Apoi, determinați volumul corpului obținut prin rotația acestui domeniu în jurul axei OxOx.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Determinați punctele de intersecție ale curbelor rezolvând x2=2x−x2x^2 = 2x - x^2. Se obține 2x2−2x=0⇒2x(x−1)=0⇒x=02x^2 - 2x = 0 \Rightarrow 2x(x-1)=0 \Rightarrow x=0 și x=1x=1.
23 puncte
Stabiliți care curbă este deasupra pe intervalul [0,1][0,1]. Pentru x∈[0,1]x \in [0,1], 2x−x2≥x22x - x^2 \geq x^2, deci aria este dată de ∫01[(2x−x2)−x2]dx=∫01(2x−2x2)dx\int_{0}^{1} [(2x - x^2) - x^2] dx = \int_{0}^{1} (2x - 2x^2) dx.
32 puncte
Calculați aria. ∫01(2x−2x2)dx=[x2−2x33]01=1−23=13\int_{0}^{1} (2x - 2x^2) dx = \left[ x^2 - \frac{2x^3}{3} \right]_{0}^{1} = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}.
43 puncte
Pentru volum, aplicați formula volumului prin rotație: V=π∫01[(2x−x2)2−(x2)2]dxV = \pi \int_{0}^{1} [ (2x - x^2)^2 - (x^2)^2 ] dx. Calculați integrala: ∫01(4x2−4x3+x4−x4)dx=∫01(4x2−4x3)dx=[4x33−x4]01=43−1=13\int_{0}^{1} (4x^2 - 4x^3 + x^4 - x^4) dx = \int_{0}^{1} (4x^2 - 4x^3) dx = \left[ \frac{4x^3}{3} - x^4 \right]_{0}^{1} = \frac{4}{3} - 1 = \frac{1}{3}. Deci V=π⋅13=π3V = \pi \cdot \frac{1}{3} = \frac{\pi}{3}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Integrale definite

Mediu#1Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Calculați aria suprafeței plane mărginite de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+2x+3y = -x^2 + 2x + 3.
Mediu#2Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Un teren are forma mărginită de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+6x−5y = -x^2 + 6x - 5. Calculați aria acestui teren.
Ușor#3Integrale definiteMatematică aplicatăPrimitive
O companie estimează că profitul său marginal (în mii de euro) este dat de funcția P′(x)=10−0.1xP'(x) = 10 - 0.1x, unde xx este numărul de unități produse. Dacă profitul total este zero atunci când nu se produce nimic, determinați profitul total pentru o producție de 100100 de unități.
Mediu#4Integrale definiteArii și volume
Calculați aria domeniului plan mărginit de curbele y=x2y = x^2, y=2x+3y = 2x + 3, axa Oy și dreapta x=2x = 2.
Vezi toate problemele de Integrale definite →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Integrale definite cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.