MediuEcuații logaritmiceClasa 11

Problemă rezolvată de Ecuații logaritmice

MediuEcuații logaritmiceEcuații exponentialeStudiul funcțiilor
Rezolvați ecuația log⁡2(3x−1)=x\log_2(3^x - 1) = x.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
11 punct
Condiția de existență: 3x−1>03^x - 1 > 0 implică x>0x > 0.
22 puncte
Din definiția logaritmului, log⁡2(3x−1)=x\log_2(3^x - 1) = x este echivalentă cu 3x−1=2x3^x - 1 = 2^x.
31 punct
Rearanjarea: 3x−2x=13^x - 2^x = 1.
42 puncte
Verificarea soluției x=1: 31−21=13^1 - 2^1 = 1, deci x=1 satisface ecuația.
54 puncte
Demonstrarea unicității: Funcția f(x)=3x−2xf(x) = 3^x - 2^x este strict crescătoare pentru x>0x > 0 deoarece f′(x)=3xln⁡3−2xln⁡2>0f'(x) = 3^x \ln 3 - 2^x \ln 2 > 0 (sau prin argumentul că funcțiile exponențiale cu baze mai mari decât 1 sunt crescătoare). Astfel, ecuația f(x)=1f(x)=1 are o singură soluție, x=1.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Ecuații logaritmice

Mediu#1Ecuații logaritmiceEcuații iraționale
Rezolvați ecuația log⁡2x+log⁡2x3=2.\sqrt{\log_2 x} + \sqrt[3]{\log_2 x} = 2.
Mediu#2Ecuații logaritmiceLogaritmiEcuații exponentiale
Rezolvați ecuația: 22log⁡4x−1−7log⁡4x=7log⁡4x−1−3⋅4log⁡4x2^{2\log_{4}x-1}-7^{\log_{4}x}=7^{\log_{4}x-1}-3\cdot4^{\log_{4}x}
Mediu#3Ecuații logaritmiceEcuații exponentiale
Rezolvați ecuația: 7log⁡x−5log⁡x+1=3⋅5log⁡x−1−13⋅7log⁡x−17^{\log x} - 5^{\log x + 1} = 3\cdot5^{\log x - 1} - 13\cdot7^{\log x - 1}.
Mediu#4Ecuații logaritmiceTrigonometrie
Rezolvați ecuația: 3log⁡(tan⁡x)−2⋅3log⁡(cot⁡x)+1=13^{\log(\tan x)} - 2\cdot 3^{\log(\cot x)} + 1 = 1
Vezi toate problemele de Ecuații logaritmice →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Ecuații logaritmice cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.