MediuMatriciClasa 11

Problemă rezolvată de Matrici

MediuMatriciDeterminanțiAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se consideră matricea A=(a12a)A = \begin{pmatrix} a & 1 \\ 2 & a \end{pmatrix}, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. Determinați aa astfel încât determinantul matricei A2−2AA^2 - 2A să fie egal cu 0.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Calculează A2=(a12a)(a12a)=(a2+22a4aa2+2)A^2 = \begin{pmatrix} a & 1 \\ 2 & a \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & 1 \\ 2 & a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a^2 + 2 & 2a \\ 4a & a^2 + 2 \end{pmatrix}.
22 puncte
Calculează A2−2A=(a2+22a4aa2+2)−2(a12a)=(a2−2a+22a−24a−4a2−2a+2)A^2 - 2A = \begin{pmatrix} a^2 + 2 & 2a \\ 4a & a^2 + 2 \end{pmatrix} - 2\begin{pmatrix} a & 1 \\ 2 & a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a^2 - 2a + 2 & 2a - 2 \\ 4a - 4 & a^2 - 2a + 2 \end{pmatrix}.
33 puncte
Determinantul matricei A2−2AA^2 - 2A este det⁡=(a2−2a+2)2−(2a−2)(4a−4)=(a2−2a+2)2−8(a−1)2\det = (a^2 - 2a + 2)^2 - (2a - 2)(4a - 4) = (a^2 - 2a + 2)^2 - 8(a-1)^2.
43 puncte
Puneți det⁡=0\det = 0 și rezolvați: (a2−2a+2)2=8(a−1)2(a^2 - 2a + 2)^2 = 8(a-1)^2. Obțineți a2−2a+2=±22(a−1)a^2 - 2a + 2 = \pm 2\sqrt{2}(a-1). Rezolvând cele două ecuații pătratice, se găsesc valorile reale ale lui aa: a=1±2a = 1 \pm \sqrt{2} sau a=1±2ia = 1 \pm \sqrt{2}i (dar doar a∈Ra \in \mathbb{R}, deci a=1+2a = 1 + \sqrt{2} și a=1−2a = 1 - \sqrt{2}).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Matrici

Mediu#1MatriciInele și corpuri
Fie mulțimea M={aI2+bJ∣a,b∈R}M = \{ aI_2 + bJ \mid a, b \in \mathbb{R} \} unde I2I_2 este matricea identitate de ordin 2 și J=(01−10)J = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}. Arătați că MM cu adunarea și înmulțirea matricelor formează un inel comutativ. Determinați dacă este un corp și, dacă nu, găsiți elementele inversabile.
Mediu#2MatriciInele și corpuri
Fie M={(ab0c)∣a,b,c∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix} \mid a, b, c \in \mathbb{R} \right\} mulțimea matricelor triunghiulare superioare de ordinul 2. Se definește operația de adunare ca adunarea obișnuită a matricelor și operația de înmulțire ca înmulțirea obișnuită a matricelor. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel. Dacă da, este el un corp? Justificați răspunsul.
Mediu#3MatriciInele și corpuri
Fie mulțimea M={(ab−ba)∣a,b∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix} \mid a, b \in \mathbb{R} \right\}. Arătați că (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un corp, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea matricelor. Apoi, rezolvați în acest corp ecuația X2=−IX^2 = -I, unde II este matricea identitate.
Mediu#4MatriciSisteme de Ecuații LiniareMatematică aplicată
Într-o uzină, se fabrică trei tipuri de piese: P1, P2 și P3. Timpii necesari (în minute) pentru fiecare piesă pe trei utilaje diferite sunt dați de matricea A=(5867496105)A = \begin{pmatrix} 5 & 8 & 6 \\ 7 & 4 & 9 \\ 6 & 10 & 5 \end{pmatrix}, unde rândul ii corespunde utilajului UiU_i și coloana jj piesei PjP_j. Dacă utilajele sunt disponibile timp de 120, 150 și 180 de minute respectiv, și se dorește utilizarea integrală a timpului, determinați câte piese de fiecare tip pot fi produse prin rezolvarea sistemului liniar folosind metoda matriceală. (Presupunem că numărul de piese este număr întreg pozitiv.)
Vezi toate problemele de Matrici →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Matrici cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.