MediuProgresii GeometriceClasa 10

Problemă rezolvată de Progresii Geometrice

MediuProgresii GeometriceLogaritmi
Suma termenilor unei progresii geometrice infinite este S=4S = 4. Știind că log⁡2(S2)=3\log_2 (S_2) = 3, unde S2S_2 este suma pătratelor termenilor, determinați primul termen a1a_1 și rația rr a progresiei.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
12 puncte
Scrierea formulelor pentru sumă și suma pătratelor: S=a11−r=4S = \frac{a_1}{1-r} = 4 și S2=a121−r2S_2 = \frac{a_1^2}{1-r^2}. Din log⁡2S2=3\log_2 S_2 = 3, rezultă S2=23=8S_2 = 2^3 = 8.
25 puncte
Rezolvarea sistemului. Din S=4S=4, avem a1=4(1−r)a_1 = 4(1-r). Substituind în S2=8S_2 = 8, obținem [4(1−r)]21−r2=8\frac{[4(1-r)]^2}{1-r^2} = 8. Simplificând, 16(1−r)2(1−r)(1+r)=8\frac{16(1-r)^2}{(1-r)(1+r)} = 8, deci 2(1−r)=1+r2(1-r) = 1+r, ceea ce dă r=13r = \frac{1}{3}.
33 puncte
Determinarea lui a1a_1: a1=4(1−13)=83a_1 = 4 \left(1 - \frac{1}{3}\right) = \frac{8}{3}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Progresii Geometrice

Mediu#1Progresii GeometriceMatematică financiară
Un împrumut de 50.000 lei este contractat la o dobândă anuală de 6%, compusă anual. Împrumutul trebuie rambursat în 5 ani prin plăți anuale egale. a) Calculați valoarea plății anuale. b) Întocmiți un tabel de amortizare care să indice pentru fiecare an: soldul inițial, dobânda, rambursarea principalului și soldul final.
Ușor#2Progresii GeometriceLogaritmiMatematică financiară
O persoană depune 5000 de lei într-un cont bancar care oferă o dobândă anuală de 5%, compusă anual. După câți ani suma va depăși 7000 de lei? (Se consideră log⁡1.05≈0.0212\log 1.05 \approx 0.0212 și log⁡1.4≈0.1461\log 1.4 \approx 0.1461)
Mediu#3Progresii GeometriceLogaritmiMatematică aplicată
La deschiderea unui lac de agrement, numărul de vizitatori în prima zi a fost de 500. Se estimează că numărul de vizitatori crește cu 10% în fiecare zi față de ziua precedentă. Determinați după câte zile numărul total de vizitatori depășește 10000.
Mediu#4Progresii GeometriceNumere ComplexeȘiruri de numere reale
Fie z=(0,1)∈Cz = (0,1) \in \mathbb{C}. Exprimați ∑k=0nzk\sum_{k=0}^{n} z^k în funcție de întregul pozitiv nn.
Vezi toate problemele de Progresii Geometrice →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Progresii Geometrice cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.