MediuNumere ComplexeClasa 10

Problemă rezolvată de Numere Complexe

MediuNumere ComplexeProgresii Geometrice
Fie z1,z2,z3z_1, z_2, z_3 numere complexe care formează o progresie geometrică. Dacă z1+z2+z3=0z_1 + z_2 + z_3 = 0 și z1z2z3=−8z_1 z_2 z_3 = -8, determinați valorile posibile ale lui z1,z2,z3z_1, z_2, z_3.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Notăm rația progresiei geometrice cu qq, deci z2=z1qz_2 = z_1 q și z3=z1q2z_3 = z_1 q^2. Din z1+z2+z3=0z_1 + z_2 + z_3 = 0 obținem z1(1+q+q2)=0z_1(1 + q + q^2) = 0. Cum z1z2z3=−8≠0z_1 z_2 z_3 = -8 \neq 0, rezultă z1≠0z_1 \neq 0, deci 1+q+q2=01 + q + q^2 = 0.
24 puncte
Din z1z2z3=z1⋅z1q⋅z1q2=z13q3=−8z_1 z_2 z_3 = z_1 \cdot z_1 q \cdot z_1 q^2 = z_1^3 q^3 = -8. Ecuația 1+q+q2=01 + q + q^2 = 0 implică că qq este o rădăcină cubică a unității diferită de 1, deci q3=1q^3 = 1. Așadar, z13=−8z_1^3 = -8, de unde z1=−2,−2ω,−2ω2z_1 = -2, -2\omega, -2\omega^2, unde ω=cos⁡2π3+isin⁡2π3\omega = \cos \frac{2\pi}{3} + i \sin \frac{2\pi}{3}.
33 puncte
Pentru qq satisfăcând 1+q+q2=01+q+q^2=0, avem q=ωq = \omega sau q=ω2q = \omega^2. Luăm, de exemplu, q=ωq = \omega. Atunci, pentru z1=−2z_1 = -2, avem z2=−2ωz_2 = -2\omega și z3=−2ω2z_3 = -2\omega^2. Verificăm: z1+z2+z3=−2(1+ω+ω2)=0z_1 + z_2 + z_3 = -2(1+\omega+\omega^2) = 0 și z1z2z3=(−2)3ω3=−8⋅1=−8z_1 z_2 z_3 = (-2)^3 \omega^3 = -8 \cdot 1 = -8. Similar pentru celelalte combinații. Valorile posibile sunt tripletele (−2,−2ω,−2ω2)( -2, -2\omega, -2\omega^2 ) și permutările corespunzătoare, ținând cont de progresia geometrică.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Numere Complexe

Mediu#1Numere ComplexeInele și corpuri
Fie mulțimea K={a+bi∣a,b∈Q}K = \{ a + bi \mid a, b \in \mathbb{Q} \}. Arătați că KK este un corp în raport cu adunarea și înmulțirea numerelor complexe. Determinați toate elementele x∈Kx \in K care satisfac x2=−1x^2 = -1.
Greu#2Numere Complexe
Fie z1,z2∈Cz_1, z_2 \in \mathbb{C} astfel încât ∣z1∣=∣z2∣=1|z_1| = |z_2| = 1 și z1+z2=1z_1 + z_2 = 1. a) Demonstrați că z1⋅z2=1z_1 \cdot z_2 = 1. b) Determinați z1z_1 și z2z_2 în forma trigonometrică. c) Calculați (z1z2)2024+(z2z1)2024\left( \frac{z_1}{z_2} \right)^{2024} + \left( \frac{z_2}{z_1} \right)^{2024}.
Greu#3Numere Complexe
Fie z∈Cz \in \mathbb{C} astfel încât ∣z∣=1|z| = 1 și arg⁡(z)∈(0,π2)\arg(z) \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right). a) Demonstrați că ∣1+z∣2+∣1−z∣2=4|1+z|^2 + |1-z|^2 = 4. b) Determinați locul geometric al punctelor M(z)M(z) pentru care ∣1+z∣=2|1+z| = \sqrt{2}. c) Calculați aria maximă a triunghiului cu vârfurile în punctele afixelor 00, zz, și 1z\frac{1}{z}.
Greu#4Numere Complexe
Fie A=(i1−1−i)A = \begin{pmatrix} i & 1 \\ -1 & -i \end{pmatrix}, unde i2=−1i^2 = -1. a) Calculați A2A^2 și A3A^3. b) Demonstrați că An=in−1AA^n = i^{n-1} A pentru orice n≥1n \geq 1 întreg. c) Determinați det⁡(A2025+A2024)\det(A^{2025} + A^{2024}).
Vezi toate problemele de Numere Complexe →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Numere Complexe cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.