MediuMatriciClasa 11

Problemă rezolvată de Matrici

MediuMatriciTrigonometrieDeterminanți
Fie matricea A(α) = (cos⁡α−sin⁡αsin⁡αcos⁡α)\begin{pmatrix} \cos α & -\sin α \\ \sin α & \cos α \end{pmatrix}, unde α este un număr real. a) Calculați produsul A(α) A(β) și arătați că A(α) A(β) = A(α+β). b) Demonstrați că matricea A(α) este ortogonală, adică A(α)^{-1} = A(α)^T. c) Pentru α = \frac{\pi}{4}, determinați matricea B = A(\frac{\pi}{4})^2 și calculați determinantul lui B.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Calculăm A(α) A(β) = (cos⁡α−sin⁡αsin⁡αcos⁡α)(cos⁡β−sin⁡βsin⁡βcos⁡β)\begin{pmatrix} \cos α & -\sin α \\ \sin α & \cos α \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos β & -\sin β \\ \sin β & \cos β \end{pmatrix} = (cos⁡αcos⁡β−sin⁡αsin⁡β−cos⁡αsin⁡β−sin⁡αcos⁡βsin⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡β−sin⁡αsin⁡β+cos⁡αcos⁡β)\begin{pmatrix} \cos α \cos β - \sin α \sin β & -\cos α \sin β - \sin α \cos β \\ \sin α \cos β + \cos α \sin β & -\sin α \sin β + \cos α \cos β \end{pmatrix} = (cos⁡(α+β)−sin⁡(α+β)sin⁡(α+β)cos⁡(α+β))\begin{pmatrix} \cos(α+β) & -\sin(α+β) \\ \sin(α+β) & \cos(α+β) \end{pmatrix} = A(α+β).
23 puncte
Matricea transpusă este A(α)^T = (cos⁡αsin⁡α−sin⁡αcos⁡α)\begin{pmatrix} \cos α & \sin α \\ -\sin α & \cos α \end{pmatrix}. Calculăm A(α) A(α)^T = (cos⁡α−sin⁡αsin⁡αcos⁡α)(cos⁡αsin⁡α−sin⁡αcos⁡α)\begin{pmatrix} \cos α & -\sin α \\ \sin α & \cos α \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos α & \sin α \\ -\sin α & \cos α \end{pmatrix} = (cos⁡2α+sin⁡2αcos⁡αsin⁡α−sin⁡αcos⁡αsin⁡αcos⁡α−cos⁡αsin⁡αsin⁡2α+cos⁡2α)\begin{pmatrix} \cos^2 α + \sin^2 α & \cos α \sin α - \sin α \cos α \\ \sin α \cos α - \cos α \sin α & \sin^2 α + \cos^2 α \end{pmatrix} = (1001)\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I_2. Similar, A(α)^T A(α) = I_2. Prin urmare, A(α)^{-1} = A(α)^T, deci A(α) este ortogonală.
33 puncte
Pentru α = π/4, avem A(π/4) = (cos⁡π4−sin⁡π4sin⁡π4cos⁡π4)\begin{pmatrix} \cos \frac{\pi}{4} & -\sin \frac{\pi}{4} \\ \sin \frac{\pi}{4} & \cos \frac{\pi}{4} \end{pmatrix} = (22−222222)\begin{pmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2} & -\frac{\sqrt{2}}{2} \\ \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} \end{pmatrix}. Folosind proprietatea demonstrată, B = A(π/4)^2 = A(π/2) = (cos⁡π2−sin⁡π2sin⁡π2cos⁡π2)\begin{pmatrix} \cos \frac{\pi}{2} & -\sin \frac{\pi}{2} \\ \sin \frac{\pi}{2} & \cos \frac{\pi}{2} \end{pmatrix} = (0−110)\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}. Determinantul lui B este det(B) = (0)(0) - (-1)(1) = 1.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Matrici

Mediu#1MatriciInele și corpuri
Fie mulțimea M={aI2+bJ∣a,b∈R}M = \{ aI_2 + bJ \mid a, b \in \mathbb{R} \} unde I2I_2 este matricea identitate de ordin 2 și J=(01−10)J = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}. Arătați că MM cu adunarea și înmulțirea matricelor formează un inel comutativ. Determinați dacă este un corp și, dacă nu, găsiți elementele inversabile.
Mediu#2MatriciInele și corpuri
Fie M={(ab0c)∣a,b,c∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix} \mid a, b, c \in \mathbb{R} \right\} mulțimea matricelor triunghiulare superioare de ordinul 2. Se definește operația de adunare ca adunarea obișnuită a matricelor și operația de înmulțire ca înmulțirea obișnuită a matricelor. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel. Dacă da, este el un corp? Justificați răspunsul.
Mediu#3MatriciInele și corpuri
Fie mulțimea M={(ab−ba)∣a,b∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix} \mid a, b \in \mathbb{R} \right\}. Arătați că (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un corp, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea matricelor. Apoi, rezolvați în acest corp ecuația X2=−IX^2 = -I, unde II este matricea identitate.
Mediu#4MatriciSisteme de Ecuații LiniareMatematică aplicată
Într-o uzină, se fabrică trei tipuri de piese: P1, P2 și P3. Timpii necesari (în minute) pentru fiecare piesă pe trei utilaje diferite sunt dați de matricea A=(5867496105)A = \begin{pmatrix} 5 & 8 & 6 \\ 7 & 4 & 9 \\ 6 & 10 & 5 \end{pmatrix}, unde rândul ii corespunde utilajului UiU_i și coloana jj piesei PjP_j. Dacă utilajele sunt disponibile timp de 120, 150 și 180 de minute respectiv, și se dorește utilizarea integrală a timpului, determinați câte piese de fiecare tip pot fi produse prin rezolvarea sistemului liniar folosind metoda matriceală. (Presupunem că numărul de piese este număr întreg pozitiv.)
Vezi toate problemele de Matrici →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Matrici cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.