MediuEcuații logaritmiceClasa 10

Problemă rezolvată de Ecuații logaritmice

MediuEcuații logaritmiceLogaritmiAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația log⁡3(2x−1)=log⁡9(x2+3x−4)\log_3(2x - 1) = \log_9(x^2 + 3x - 4).

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Stabilim condițiile de existență: 2x−1>02x - 1 > 0 și x2+3x−4>0x^2 + 3x - 4 > 0. Din 2x−1>02x - 1 > 0 avem x>12x > \frac{1}{2}. Din x2+3x−4>0x^2 + 3x - 4 > 0, rezolvăm inecuația: rădăcinile sunt x1=−4x_1 = -4, x2=1x_2 = 1, deci x<−4x < -4 sau x>1x > 1. Combinând, avem x>1x > 1.
23 puncte
Schimbăm baza logaritmului log⁡9\log_9 în baza 3: log⁡9(x2+3x−4)=log⁡3(x2+3x−4)log⁡39=log⁡3(x2+3x−4)2\log_9(x^2 + 3x - 4) = \frac{\log_3(x^2 + 3x - 4)}{\log_3 9} = \frac{\log_3(x^2 + 3x - 4)}{2}.
32 puncte
Înlocuim în ecuație: log⁡3(2x−1)=12log⁡3(x2+3x−4)\log_3(2x - 1) = \frac{1}{2} \log_3(x^2 + 3x - 4). Multiplicăm ambii membri cu 2: 2log⁡3(2x−1)=log⁡3(x2+3x−4)2 \log_3(2x - 1) = \log_3(x^2 + 3x - 4).
42 puncte
Aplicăm proprietatea nlog⁡ab=log⁡abnn \log_a b = \log_a b^n: log⁡3((2x−1)2)=log⁡3(x2+3x−4)\log_3((2x - 1)^2) = \log_3(x^2 + 3x - 4).
51 punct
Echivalăm argumentele: (2x−1)2=x2+3x−4(2x - 1)^2 = x^2 + 3x - 4. Dezvoltăm: 4x2−4x+1=x2+3x−44x^2 - 4x + 1 = x^2 + 3x - 4, deci 3x2−7x+5=03x^2 - 7x + 5 = 0. Rezolvăm: Δ=49−60=−11\Delta = 49 - 60 = -11, deci nu are soluții reale. Verificăm condițiile: deoarece x>1x > 1, nu avem soluții reale care să satisfacă ecuația inițială. Prin urmare, ecuația nu are soluții.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Ecuații logaritmice

Mediu#1Ecuații logaritmiceEcuații iraționale
Rezolvați ecuația log⁡2x+log⁡2x3=2.\sqrt{\log_2 x} + \sqrt[3]{\log_2 x} = 2.
Mediu#2Ecuații logaritmiceLogaritmiEcuații exponentiale
Rezolvați ecuația: 22log⁡4x−1−7log⁡4x=7log⁡4x−1−3⋅4log⁡4x2^{2\log_{4}x-1}-7^{\log_{4}x}=7^{\log_{4}x-1}-3\cdot4^{\log_{4}x}
Mediu#3Ecuații logaritmiceEcuații exponentiale
Rezolvați ecuația: 7log⁡x−5log⁡x+1=3⋅5log⁡x−1−13⋅7log⁡x−17^{\log x} - 5^{\log x + 1} = 3\cdot5^{\log x - 1} - 13\cdot7^{\log x - 1}.
Mediu#4Ecuații logaritmiceTrigonometrie
Rezolvați ecuația: 3log⁡(tan⁡x)−2⋅3log⁡(cot⁡x)+1=13^{\log(\tan x)} - 2\cdot 3^{\log(\cot x)} + 1 = 1
Vezi toate problemele de Ecuații logaritmice →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Ecuații logaritmice cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.