MediuDerivateClasa 11

Problemă rezolvată de Derivate

MediuDerivateMonotonie și convexitateAsimptote
Să se studieze funcția f:R∖{−1,1}→Rf: \mathbb{R} \setminus \{-1, 1\} \to \mathbb{R}, f(x)=x3x2−1f(x) = \frac{x^3}{x^2 - 1} asupra domeniului de definiție, monotoniei, convexității, și asimptotelor.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Domeniul: R∖{−1,1}\mathbb{R} \setminus \{-1, 1\} deoarece numitorul se anulează. Asimptote verticale: x=−1x=-1 și x=1x=1, deoarece lim⁡x→−1f(x)=∞\lim_{x \to -1} f(x) = \infty și lim⁡x→1f(x)=∞\lim_{x \to 1} f(x) = \infty.
22 puncte
Asimptotă oblică: pentru x→±∞x \to \pm\infty, calculăm m=lim⁡x→∞f(x)x=lim⁡x→∞x2x2−1=1m = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{x^2-1} = 1 și n=lim⁡x→∞(f(x)−x)=lim⁡x→∞xx2−1=0n = \lim_{x \to \infty} (f(x) - x) = \lim_{x \to \infty} \frac{x}{x^2-1} = 0, deci y=xy=x este asimptotă oblică la ambele ±∞\pm\infty.
33 puncte
Derivata întâi: f′(x)=3x2(x2−1)−x3⋅2x(x2−1)2=x2(x2−3)(x2−1)2f'(x) = \frac{3x^2(x^2-1) - x^3 \cdot 2x}{(x^2-1)^2} = \frac{x^2(x^2 - 3)}{(x^2-1)^2}. Rezolvăm f′(x)=0⇒x=0f'(x)=0 \Rightarrow x=0 sau x=±3x=\pm\sqrt{3}. Studiul semnului: pentru x<−3x<-\sqrt{3}, f′(x)>0f'(x)>0 (crescător); pentru −3<x<−1-\sqrt{3}<x<-1, f′(x)<0f'(x)<0 (descrescător); pentru −1<x<0-1<x<0, f′(x)>0f'(x)>0 (crescător); pentru 0<x<10<x<1, f′(x)<0f'(x)<0 (descrescător); pentru 1<x<31<x<\sqrt{3}, f′(x)<0f'(x)<0 (descrescător); pentru x>3x>\sqrt{3}, f′(x)>0f'(x)>0 (crescător). Puncte de extrem: x=−3x=-\sqrt{3} (maxim local), x=0x=0 (minim local), x=3x=\sqrt{3} (maxim local).
43 puncte
Derivata a doua: f′′(x)=ddx(x2(x2−3)(x2−1)2)=2x(x4−6x2+3)(x2−1)3f''(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{x^2(x^2-3)}{(x^2-1)^2} \right) = \frac{2x(x^4 - 6x^2 + 3)}{(x^2-1)^3}. Rezolvăm f′′(x)=0⇒x=0f''(x)=0 \Rightarrow x=0 sau x4−6x2+3=0x^4 - 6x^2 + 3=0, cu soluții aproximative. Studiul semnului: pentru x<−1x<-1, f′′(x)>0f''(x)>0 (convexă); pentru −1<x<0-1<x<0, f′′(x)<0f''(x)<0 (concavă); pentru 0<x<10<x<1, f′′(x)>0f''(x)>0 (convexă); pentru x>1x>1, f′′(x)<0f''(x)<0 (concavă). Puncte de inflexiune la x=0x=0 și la rădăcinile ecuației x4−6x2+3=0x^4 - 6x^2 + 3=0.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Derivate

Greu#1Derivate
Fie funcția f:(0,∞)→Rf: (0, \infty) \to \mathbb{R}, f(x)=ln⁡(arctan⁡(1+esin⁡(ln⁡x)))f(x) = \ln\left( \arctan\left( \sqrt{1 + e^{\sin(\ln x)}} \right) \right). a) Calculați f′(x)f'(x). b) Determinați punctele critice ale lui ff pe intervalul (1,e2π)(1, e^{2\pi}). c) Demonstrați că ecuația f′(x)=0f'(x) = 0 are exact două soluții în (1,e2π)(1, e^{2\pi}).
Greu#2Derivate
Fie f:[0,2]→Rf: [0, 2] \to \mathbb{R}, f(x)=x3−3x2+ax+bf(x) = x^3 - 3x^2 + ax + b, cu a,b∈Ra, b \in \mathbb{R}. a) Determinați aa și bb astfel încât ff să verifice condițiile teoremei lui Rolle pe [0,2][0, 2]. b) Pentru valorile găsite, demonstrați că există c∈(0,2)c \in (0, 2) cu f′′(c)=0f''(c) = 0. c) Arătați că pentru orice x∈[0,2]x \in [0, 2], ∣f(x)∣≤4|f(x)| \leq 4.
Greu#3Derivate
Demonstrați că pentru orice x>0x > 0, are loc inegalitatea ln⁡(1+x)>2x2+x\ln(1+x) > \frac{2x}{2+x}. a) Definiți funcția auxiliară g(x)=ln⁡(1+x)−2x2+xg(x) = \ln(1+x) - \frac{2x}{2+x} și studiați monotonia ei. b) Determinați semnul lui g(x)g(x) pe (0,∞)(0, \infty). c) Generalizați: pentru ce valori ale lui k>0k > 0 are loc ln⁡(1+x)>kxk+x\ln(1+x) > \frac{kx}{k+x} pentru orice x>0x > 0?
Greu#4Derivate
Fie curba Γ:{x=t2−1y=t3−3t\Gamma: \begin{cases} x = t^2 - 1 \\ y = t^3 - 3t \end{cases}, t∈Rt \in \mathbb{R}. a) Determinați ecuația tangentei la Γ\Gamma în punctul corespunzător lui t=2t=2. b) Găsiți punctele de pe Γ\Gamma în care tangenta este paralelă cu dreapta y=3x+1y = 3x + 1. c) Demonstrați că există exact două tangente la Γ\Gamma care trec prin punctul A(0,−4)A(0, -4).
Vezi toate problemele de Derivate →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Derivate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.