MediuTrigonometrieClasa 9

Problemă rezolvată de Trigonometrie

MediuTrigonometrieAplicații ale trigonometriei în geometrie
În triunghiul ABCABC, se cunosc laturile a=23a = 2\sqrt{3}, b=4b = 4 și sin⁡A=12\sin A = \frac{1}{2}. Determinați unghiurile BB și CC și lungimea laturii cc.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Aplicăm teorema sinusurilor: asin⁡A=bsin⁡B\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}. Astfel, 2312=4sin⁡B\frac{2\sqrt{3}}{\frac{1}{2}} = \frac{4}{\sin B}, deci 43=4sin⁡B4\sqrt{3} = \frac{4}{\sin B}, așadar sin⁡B=13=33\sin B = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}.
24 puncte
Din sin⁡B=33\sin B = \frac{\sqrt{3}}{3}, unghiul BB poate fi B1=arcsin⁡(33)B_1 = \arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right) sau B2=π−arcsin⁡(33)B_2 = \pi - \arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right). Deoarece sin⁡A=12\sin A = \frac{1}{2}, unghiul AA este 30∘30^\circ (deoarece a<ba < b și din teorema sinusurilor, unghiul opus laturii mai mici este mai mic, deci AA nu poate fi 150∘150^\circ). Atunci, BB trebuie să fie ascuțit pentru ca suma unghiurilor să nu depășească 180∘180^\circ, deci B=arcsin⁡(33)B = \arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right).
33 puncte
Unghiul C=180∘−A−B=150∘−BC = 180^\circ - A - B = 150^\circ - B. Pentru a calcula cc, folosim teorema sinusurilor: c=asin⁡Csin⁡Ac = \frac{a \sin C}{\sin A}. Din sin⁡B=33\sin B = \frac{\sqrt{3}}{3}, avem cos⁡B=1−sin⁡2B=23=63\cos B = \sqrt{1 - \sin^2 B} = \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}. Atunci, sin⁡C=sin⁡(150∘−B)=sin⁡150∘cos⁡B−cos⁡150∘sin⁡B=12⋅63−(−32)⋅33=66+36=6+36\sin C = \sin(150^\circ - B) = \sin 150^\circ \cos B - \cos 150^\circ \sin B = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{6}}{3} - \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{\sqrt{6}}{6} + \frac{3}{6} = \frac{\sqrt{6} + 3}{6}. Așadar, c=23⋅6+3612=23⋅(6+3)3=22+23c = \frac{2\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{6} + 3}{6}}{\frac{1}{2}} = \frac{2\sqrt{3} \cdot (\sqrt{6} + 3)}{3} = 2\sqrt{2} + 2\sqrt{3}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Trigonometrie

Greu#1Trigonometrie
Fie a∈Ra \in \mathbb{R} un parametru real. Să se determine numărul de soluții ale ecuației sin⁡4x+cos⁡4x=a\sin^4 x + \cos^4 x = a în intervalul [0,2π][0, 2\pi], în funcție de aa. Discuție completă.
Greu#2Trigonometrie
Demonstrați identitatea: sin⁡3xsin⁡x−cos⁡3xcos⁡x=2\frac{\sin 3x}{\sin x} - \frac{\cos 3x}{\cos x} = 2, pentru x≠kπ2x \neq \frac{k\pi}{2}, k∈Zk \in \mathbb{Z}.
Greu#3Trigonometrie
În triunghiul ABCABC, cu AB=cAB = c, BC=aBC = a, CA=bCA = b, se cunosc sin⁡A=35\sin A = \frac{3}{5} și cos⁡B=513\cos B = \frac{5}{13}. Să se calculeze cos⁡C\cos C și aria triunghiului, știind că a=10a = 10.
Greu#4Trigonometrie
Să se rezolve ecuația 3sin⁡x+cos⁡x=2\sqrt{3}\sin x + \cos x = \sqrt{2}, cu condiția x∈[0,π]x \in [0, \pi] și să se afle soluțiile care satisfac tan⁡x>0\tan x > 0.
Vezi toate problemele de Trigonometrie →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Trigonometrie cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.