MediuProgresii GeometriceClasa 10

Problemă rezolvată de Progresii Geometrice

MediuProgresii GeometriceLogaritmi
Suma primilor trei termeni ai unei progresii geometrice este 14, iar suma logaritmilor în baza 2 ai acestor termeni este 3. Determinați progresia.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Notăm termenii: a,ar,ar2a, ar, ar^2. Scriem ecuațiile: a+ar+ar2=14a + ar + ar^2 = 14 și log⁡2a+log⁡2(ar)+log⁡2(ar2)=3\log_2 a + \log_2 (ar) + \log_2 (ar^2) = 3.
23 puncte
Simplificăm suma logaritmilor: log⁡2(a⋅ar⋅ar2)=log⁡2(a3r3)=3log⁡2(ar)=3\log_2 (a \cdot ar \cdot ar^2) = \log_2 (a^3 r^3) = 3 \log_2 (ar) = 3, deci log⁡2(ar)=1\log_2 (ar) = 1, adică ar=2ar = 2.
34 puncte
Înlocuim ar=2ar = 2 în prima ecuație: a+2+ar2=14a + 2 + ar^2 = 14, deci a+ar2=12a + ar^2 = 12. Dar a=2ra = \frac{2}{r}, deci 2r+2r=12\frac{2}{r} + 2r = 12. Înmulțim cu rr: 2+2r2=12r2 + 2r^2 = 12r, adică 2r2−12r+2=02r^2 - 12r + 2 = 0, simplificăm cu 2: r2−6r+1=0r^2 - 6r + 1 = 0. Rezolvăm: r=3±22r = 3 \pm 2\sqrt{2}. Atunci a=2ra = \frac{2}{r}, deci există două progresii posibile: pentru r=3+22r = 3 + 2\sqrt{2}, a=23+22=2(3−22)a = \frac{2}{3 + 2\sqrt{2}} = 2(3 - 2\sqrt{2}), și pentru r=3−22r = 3 - 2\sqrt{2}, a=23−22=2(3+22)a = \frac{2}{3 - 2\sqrt{2}} = 2(3 + 2\sqrt{2}).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Progresii Geometrice

Mediu#1Progresii GeometriceMatematică financiară
Un împrumut de 50.000 lei este contractat la o dobândă anuală de 6%, compusă anual. Împrumutul trebuie rambursat în 5 ani prin plăți anuale egale. a) Calculați valoarea plății anuale. b) Întocmiți un tabel de amortizare care să indice pentru fiecare an: soldul inițial, dobânda, rambursarea principalului și soldul final.
Ușor#2Progresii GeometriceLogaritmiMatematică financiară
O persoană depune 5000 de lei într-un cont bancar care oferă o dobândă anuală de 5%, compusă anual. După câți ani suma va depăși 7000 de lei? (Se consideră log⁡1.05≈0.0212\log 1.05 \approx 0.0212 și log⁡1.4≈0.1461\log 1.4 \approx 0.1461)
Mediu#3Progresii GeometriceLogaritmiMatematică aplicată
La deschiderea unui lac de agrement, numărul de vizitatori în prima zi a fost de 500. Se estimează că numărul de vizitatori crește cu 10% în fiecare zi față de ziua precedentă. Determinați după câte zile numărul total de vizitatori depășește 10000.
Mediu#4Progresii GeometriceNumere ComplexeȘiruri de numere reale
Fie z=(0,1)∈Cz = (0,1) \in \mathbb{C}. Exprimați ∑k=0nzk\sum_{k=0}^{n} z^k în funcție de întregul pozitiv nn.
Vezi toate problemele de Progresii Geometrice →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Progresii Geometrice cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.