MediuNumere ComplexeClasa 10

Problemă rezolvată de Numere Complexe

MediuNumere ComplexePolinoame
Fie numărul complex zz care satisface ecuația z2−z+1=0z^2 - z + 1 = 0. a) Determinați zz în formă algebrică. b) Scrieți zz în formă trigonometrică. c) Calculați z2024+z−2024z^{2024} + z^{-2024}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Rezolvăm ecuația z2−z+1=0z^2 - z + 1 = 0. Discriminantul este Δ=1−4=−3\Delta = 1 - 4 = -3, deci z=1±i32z = \frac{1 \pm i\sqrt{3}}{2}. Considerăm, de exemplu, z=12+i32z = \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}.
23 puncte
Pentru z=12+i32z = \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}, modulul r=(12)2+(32)2=1r = \sqrt{(\frac{1}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2} = 1 și argumentul θ\theta astfel încât cos⁡θ=12\cos \theta = \frac{1}{2} și sin⁡θ=32\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}, deci θ=π3\theta = \frac{\pi}{3}. Așadar, z=cos⁡π3+isin⁡π3z = \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3}.
34 puncte
Folosind formula lui Moivre, z2024=cos⁡(2024⋅π3)+isin⁡(2024⋅π3)z^{2024} = \cos(2024 \cdot \frac{\pi}{3}) + i \sin(2024 \cdot \frac{\pi}{3}) și z−2024=cos⁡(2024⋅π3)−isin⁡(2024⋅π3)z^{-2024} = \cos(2024 \cdot \frac{\pi}{3}) - i \sin(2024 \cdot \frac{\pi}{3}). Suma este 2cos⁡(2024⋅π3)2 \cos(2024 \cdot \frac{\pi}{3}). Simplificăm: 2024⋅π3=674π+2π32024 \cdot \frac{\pi}{3} = 674\pi + \frac{2\pi}{3}, deci cos⁡(2024⋅π3)=cos⁡(674π+2π3)=cos⁡(674π)cos⁡(2π3)−sin⁡(674π)sin⁡(2π3)=1⋅(−12)−0=−12\cos(2024 \cdot \frac{\pi}{3}) = \cos(674\pi + \frac{2\pi}{3}) = \cos(674\pi)\cos(\frac{2\pi}{3}) - \sin(674\pi)\sin(\frac{2\pi}{3}) = 1 \cdot (-\frac{1}{2}) - 0 = -\frac{1}{2}. Astfel, z2024+z−2024=2⋅(−12)=−1z^{2024} + z^{-2024} = 2 \cdot (-\frac{1}{2}) = -1.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Numere Complexe

Mediu#1Numere ComplexeInele și corpuri
Fie mulțimea K={a+bi∣a,b∈Q}K = \{ a + bi \mid a, b \in \mathbb{Q} \}. Arătați că KK este un corp în raport cu adunarea și înmulțirea numerelor complexe. Determinați toate elementele x∈Kx \in K care satisfac x2=−1x^2 = -1.
Greu#2Numere Complexe
Fie z1,z2∈Cz_1, z_2 \in \mathbb{C} astfel încât ∣z1∣=∣z2∣=1|z_1| = |z_2| = 1 și z1+z2=1z_1 + z_2 = 1. a) Demonstrați că z1⋅z2=1z_1 \cdot z_2 = 1. b) Determinați z1z_1 și z2z_2 în forma trigonometrică. c) Calculați (z1z2)2024+(z2z1)2024\left( \frac{z_1}{z_2} \right)^{2024} + \left( \frac{z_2}{z_1} \right)^{2024}.
Greu#3Numere Complexe
Fie z∈Cz \in \mathbb{C} astfel încât ∣z∣=1|z| = 1 și arg⁡(z)∈(0,π2)\arg(z) \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right). a) Demonstrați că ∣1+z∣2+∣1−z∣2=4|1+z|^2 + |1-z|^2 = 4. b) Determinați locul geometric al punctelor M(z)M(z) pentru care ∣1+z∣=2|1+z| = \sqrt{2}. c) Calculați aria maximă a triunghiului cu vârfurile în punctele afixelor 00, zz, și 1z\frac{1}{z}.
Greu#4Numere Complexe
Fie A=(i1−1−i)A = \begin{pmatrix} i & 1 \\ -1 & -i \end{pmatrix}, unde i2=−1i^2 = -1. a) Calculați A2A^2 și A3A^3. b) Demonstrați că An=in−1AA^n = i^{n-1} A pentru orice n≥1n \geq 1 întreg. c) Determinați det⁡(A2025+A2024)\det(A^{2025} + A^{2024}).
Vezi toate problemele de Numere Complexe →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Numere Complexe cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.