MediuNumere ComplexeClasa 10

Problemă rezolvată de Numere Complexe

MediuNumere ComplexePolinoameAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie ecuația z2−2z+5=0z^2 - 2z + 5 = 0 cu rădăcinile z1z_1 și z2z_2. a) Determinați z1z_1 și z2z_2. b) Calculați ∣z1∣2+∣z2∣2|z_1|^2 + |z_2|^2. c) Arătați că z1n+z2nz_1^n + z_2^n este număr real pentru orice n∈Nn \in \mathbb{N}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Rezolvarea ecuației pătratice: Δ=(−2)2−4⋅1⋅5=−16\Delta = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = -16, deci z1,2=2±4i2=1±2iz_{1,2} = \frac{2 \pm 4i}{2} = 1 \pm 2i.
23 puncte
Calculul modulelor: ∣z1∣=12+22=5|z_1| = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}, ∣z2∣=5|z_2| = \sqrt{5}, deci ∣z1∣2+∣z2∣2=5+5=10|z_1|^2 + |z_2|^2 = 5 + 5 = 10.
34 puncte
Demonstrația că z1n+z2nz_1^n + z_2^n este real: deoarece z2=z1‾z_2 = \overline{z_1}, avem z1n+z2n=z1n+z1‾n=2Re⁡(z1n)z_1^n + z_2^n = z_1^n + \overline{z_1}^n = 2 \operatorname{Re}(z_1^n), care este real.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Numere Complexe

Mediu#1Numere ComplexeInele și corpuri
Fie mulțimea K={a+bi∣a,b∈Q}K = \{ a + bi \mid a, b \in \mathbb{Q} \}. Arătați că KK este un corp în raport cu adunarea și înmulțirea numerelor complexe. Determinați toate elementele x∈Kx \in K care satisfac x2=−1x^2 = -1.
Greu#2Numere Complexe
Fie z1,z2∈Cz_1, z_2 \in \mathbb{C} astfel încât ∣z1∣=∣z2∣=1|z_1| = |z_2| = 1 și z1+z2=1z_1 + z_2 = 1. a) Demonstrați că z1⋅z2=1z_1 \cdot z_2 = 1. b) Determinați z1z_1 și z2z_2 în forma trigonometrică. c) Calculați (z1z2)2024+(z2z1)2024\left( \frac{z_1}{z_2} \right)^{2024} + \left( \frac{z_2}{z_1} \right)^{2024}.
Greu#3Numere Complexe
Fie z∈Cz \in \mathbb{C} astfel încât ∣z∣=1|z| = 1 și arg⁡(z)∈(0,π2)\arg(z) \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right). a) Demonstrați că ∣1+z∣2+∣1−z∣2=4|1+z|^2 + |1-z|^2 = 4. b) Determinați locul geometric al punctelor M(z)M(z) pentru care ∣1+z∣=2|1+z| = \sqrt{2}. c) Calculați aria maximă a triunghiului cu vârfurile în punctele afixelor 00, zz, și 1z\frac{1}{z}.
Greu#4Numere Complexe
Fie A=(i1−1−i)A = \begin{pmatrix} i & 1 \\ -1 & -i \end{pmatrix}, unde i2=−1i^2 = -1. a) Calculați A2A^2 și A3A^3. b) Demonstrați că An=in−1AA^n = i^{n-1} A pentru orice n≥1n \geq 1 întreg. c) Determinați det⁡(A2025+A2024)\det(A^{2025} + A^{2024}).
Vezi toate problemele de Numere Complexe →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Numere Complexe cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.