MediuProgresii GeometriceClasa 9

Problemă rezolvată de Progresii Geometrice

MediuProgresii GeometriceAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie a,b,ca, b, c termenii unei progresii geometrice cu termeni pozitivi și rația pozitivă. Dacă a+b+c=14a+b+c=14 și a2+b2+c2=84a^2+b^2+c^2=84, determinați progresia.

Rezolvare completă

12 puncte · 5 pași
12 puncte
Notăm termenii progresiei: a,ar,ar2a, ar, ar^2 cu a>0a > 0, r>0r > 0.
22 puncte
Scriem condițiile: a(1+r+r2)=14a(1+r+r^2)=14 și a2(1+r2+r4)=84a^2(1+r^2+r^4)=84.
33 puncte
Folosim identitatea 1+r2+r4=(1+r+r2)(1−r+r2)1+r^2+r^4 = (1+r+r^2)(1-r+r^2) și obținem a(1−r+r2)=6a(1-r+r^2)=6.
43 puncte
Rezolvăm sistemul a(1+r+r2)=14a(1+r+r^2)=14 și a(1−r+r2)=6a(1-r+r^2)=6; adunând și scăzând, găsim ar=4ar=4 și a(1+r2)=10a(1+r^2)=10, de unde rezultă a=2a=2, r=2r=2 sau a=8a=8, r=12r=\frac{1}{2}.
52 puncte
Considerând că progresia are termeni crescători (rația r>1r>1), alegem a=2a=2, r=2r=2, deci progresia este 2,4,82, 4, 8.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Progresii Geometrice

Mediu#1Progresii GeometriceMatematică financiară
Un împrumut de 50.000 lei este contractat la o dobândă anuală de 6%, compusă anual. Împrumutul trebuie rambursat în 5 ani prin plăți anuale egale. a) Calculați valoarea plății anuale. b) Întocmiți un tabel de amortizare care să indice pentru fiecare an: soldul inițial, dobânda, rambursarea principalului și soldul final.
Ușor#2Progresii GeometriceLogaritmiMatematică financiară
O persoană depune 5000 de lei într-un cont bancar care oferă o dobândă anuală de 5%, compusă anual. După câți ani suma va depăși 7000 de lei? (Se consideră log⁡1.05≈0.0212\log 1.05 \approx 0.0212 și log⁡1.4≈0.1461\log 1.4 \approx 0.1461)
Mediu#3Progresii GeometriceLogaritmiMatematică aplicată
La deschiderea unui lac de agrement, numărul de vizitatori în prima zi a fost de 500. Se estimează că numărul de vizitatori crește cu 10% în fiecare zi față de ziua precedentă. Determinați după câte zile numărul total de vizitatori depășește 10000.
Mediu#4Progresii GeometriceNumere ComplexeȘiruri de numere reale
Fie z=(0,1)∈Cz = (0,1) \in \mathbb{C}. Exprimați ∑k=0nzk\sum_{k=0}^{n} z^k în funcție de întregul pozitiv nn.
Vezi toate problemele de Progresii Geometrice →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Progresii Geometrice cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.