MediuEcuații logaritmiceClasa 10

Problemă rezolvată de Ecuații logaritmice

MediuEcuații logaritmiceSisteme de Ecuații Neliniare
Rezolvați sistemul de ecuații: {log⁡3(x+y)=1log⁡9(x2+y2)=1\begin{cases} \log_3(x+y) = 1 \\ \log_9(x^2 + y^2) = 1 \end{cases}.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Stabiliți domeniile de definiție: pentru log⁡3(x+y)\log_3(x+y), avem x+y>0x+y > 0; pentru log⁡9(x2+y2)\log_9(x^2 + y^2), avem x2+y2>0x^2 + y^2 > 0, care este întotdeauna adevărat pentru numere reale, deci condiția principală este x+y>0x+y > 0.\n
23 puncte
Aplicați proprietățile logaritmilor: din log⁡3(x+y)=1\log_3(x+y) = 1 obținem x+y=3x+y = 3. Pentru a doua ecuație, folosiți schimbarea de bază: log⁡9(x2+y2)=log⁡3(x2+y2)log⁡39=log⁡3(x2+y2)2=1\log_9(x^2 + y^2) = \frac{\log_3(x^2 + y^2)}{\log_3 9} = \frac{\log_3(x^2 + y^2)}{2} = 1, deci log⁡3(x2+y2)=2\log_3(x^2 + y^2) = 2 și x2+y2=9x^2 + y^2 = 9.\n
33 puncte
Rezolvați sistemul algebric: {x+y=3x2+y2=9\begin{cases} x+y = 3 \\ x^2 + y^2 = 9 \end{cases}. Din prima ecuație, exprimați y=3−xy = 3 - x și înlocuiți în a doua: x2+(3−x)2=9x^2 + (3-x)^2 = 9, adică x2+9−6x+x2=9x^2 + 9 - 6x + x^2 = 9, deci 2x2−6x=02x^2 - 6x = 0, 2x(x−3)=02x(x-3)=0, cu soluțiile x=0x=0 sau x=3x=3. Atunci y=3y=3 sau y=0y=0.\n
42 puncte
Verificați soluțiile în domeniu: pentru (x,y)=(0,3)(x,y) = (0,3), avem x+y=3>0x+y=3>0, corect; pentru (3,0)(3,0), avem x+y=3>0x+y=3>0, corect. Ambele perechi (0,3)(0,3) și (3,0)(3,0) sunt soluții valide ale sistemului.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Ecuații logaritmice

Mediu#1Ecuații logaritmiceEcuații iraționale
Rezolvați ecuația log⁡2x+log⁡2x3=2.\sqrt{\log_2 x} + \sqrt[3]{\log_2 x} = 2.
Mediu#2Ecuații logaritmiceLogaritmiEcuații exponentiale
Rezolvați ecuația: 22log⁡4x−1−7log⁡4x=7log⁡4x−1−3⋅4log⁡4x2^{2\log_{4}x-1}-7^{\log_{4}x}=7^{\log_{4}x-1}-3\cdot4^{\log_{4}x}
Mediu#3Ecuații logaritmiceEcuații exponentiale
Rezolvați ecuația: 7log⁡x−5log⁡x+1=3⋅5log⁡x−1−13⋅7log⁡x−17^{\log x} - 5^{\log x + 1} = 3\cdot5^{\log x - 1} - 13\cdot7^{\log x - 1}.
Mediu#4Ecuații logaritmiceTrigonometrie
Rezolvați ecuația: 3log⁡(tan⁡x)−2⋅3log⁡(cot⁡x)+1=13^{\log(\tan x)} - 2\cdot 3^{\log(\cot x)} + 1 = 1
Vezi toate problemele de Ecuații logaritmice →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Ecuații logaritmice cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.