MediuProgresii GeometriceClasa 11

Problemă rezolvată de Progresii Geometrice

MediuProgresii GeometriceAlgebră și Calcule cu Numere RealeȘiruri de numere reale
Fie (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} o progresie geometrică cu termeni pozitivi. Știind că a1+a2+a3=21a_1 + a_2 + a_3 = 21 și a12+a22+a32=189a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 = 189, determinați rația progresiei și suma primilor 10 termeni.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Notăm a1=aa_1 = a, rația q>0q > 0 (termeni pozitivi). Atunci a2=aqa_2 = aq, a3=aq2a_3 = aq^2. Condițiile devin: a+aq+aq2=21a + aq + aq^2 = 21 și a2+a2q2+a2q4=189a^2 + a^2q^2 + a^2q^4 = 189.
23 puncte
Din prima ecuație, a(1+q+q2)=21a(1+q+q^2)=21. Din a doua, a2(1+q2+q4)=189a^2(1+q^2+q^4)=189. Observăm că 1+q2+q4=(1+q+q2)(1−q+q2)1+q^2+q^4 = (1+q+q^2)(1 - q + q^2). Împărțind a doua ecuație la pătratul primei: a2(1+q2+q4)a2(1+q+q2)2=189212\frac{a^2(1+q^2+q^4)}{a^2(1+q+q^2)^2} = \frac{189}{21^2}, deci 1+q2+q4(1+q+q2)2=189441=37\frac{1+q^2+q^4}{(1+q+q^2)^2} = \frac{189}{441} = \frac{3}{7}. Dar 1+q2+q4=(1+q+q2)(1−q+q2)1+q^2+q^4 = (1+q+q^2)(1 - q + q^2), deci 1−q+q21+q+q2=37\frac{1 - q + q^2}{1+q+q^2} = \frac{3}{7}. Cross-multiply: 7(1−q+q2)=3(1+q+q2)7(1 - q + q^2) = 3(1+q+q^2), deci 7−7q+7q2=3+3q+3q27 - 7q + 7q^2 = 3 + 3q + 3q^2, adică 4q2−10q+4=04q^2 - 10q + 4 = 0. Simplificăm cu 2: 2q2−5q+2=02q^2 - 5q + 2 = 0.
33 puncte
Rezolvăm ecuația: Δ=25−16=9\Delta = 25 - 16 = 9, deci q=5±34q = \frac{5 \pm 3}{4}. Obținem q1=5+34=2q_1 = \frac{5+3}{4} = 2 și q2=5−34=12q_2 = \frac{5-3}{4} = \frac{1}{2}. Ambele sunt pozitive. Din a(1+q+q2)=21a(1+q+q^2)=21, pentru q=2q=2: a(1+2+4)=7a=21a(1+2+4)=7a=21, deci a=3a=3. Pentru q=12q=\frac{1}{2}: a(1+12+14)=a⋅74=21a(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4})=a\cdot\frac{7}{4}=21, deci a=12a=12.
42 puncte
Calculăm suma primilor 10 termeni: S10=a(q10−1)q−1S_{10} = \frac{a(q^{10}-1)}{q-1} pentru q≠1q \neq 1. Pentru a=3,q=2a=3, q=2: S10=3(210−1)2−1=3(1024−1)=3⋅1023=3069S_{10} = \frac{3(2^{10}-1)}{2-1} = 3(1024-1) = 3 \cdot 1023 = 3069. Pentru a=12,q=12a=12, q=\frac{1}{2}: S10=12((12)10−1)12−1=12(11024−1)−12=12(1−10241024)−12=12⋅(−10231024)−12=12⋅10231024⋅2=24⋅10231024=245521024=3069128S_{10} = \frac{12((\frac{1}{2})^{10}-1)}{\frac{1}{2}-1} = \frac{12(\frac{1}{1024}-1)}{-\frac{1}{2}} = \frac{12(\frac{1-1024}{1024})}{-\frac{1}{2}} = \frac{12 \cdot (-\frac{1023}{1024})}{-\frac{1}{2}} = 12 \cdot \frac{1023}{1024} \cdot 2 = \frac{24 \cdot 1023}{1024} = \frac{24552}{1024} = \frac{3069}{128}. Deci soluțiile: rația 22 cu a1=3a_1=3, suma 30693069, sau rația 12\frac{1}{2} cu a1=12a_1=12, suma 3069128\frac{3069}{128}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Progresii Geometrice

Mediu#1Progresii GeometriceMatematică financiară
Un împrumut de 50.000 lei este contractat la o dobândă anuală de 6%, compusă anual. Împrumutul trebuie rambursat în 5 ani prin plăți anuale egale. a) Calculați valoarea plății anuale. b) Întocmiți un tabel de amortizare care să indice pentru fiecare an: soldul inițial, dobânda, rambursarea principalului și soldul final.
Ușor#2Progresii GeometriceLogaritmiMatematică financiară
O persoană depune 5000 de lei într-un cont bancar care oferă o dobândă anuală de 5%, compusă anual. După câți ani suma va depăși 7000 de lei? (Se consideră log⁡1.05≈0.0212\log 1.05 \approx 0.0212 și log⁡1.4≈0.1461\log 1.4 \approx 0.1461)
Mediu#3Progresii GeometriceLogaritmiMatematică aplicată
La deschiderea unui lac de agrement, numărul de vizitatori în prima zi a fost de 500. Se estimează că numărul de vizitatori crește cu 10% în fiecare zi față de ziua precedentă. Determinați după câte zile numărul total de vizitatori depășește 10000.
Mediu#4Progresii GeometriceNumere ComplexeȘiruri de numere reale
Fie z=(0,1)∈Cz = (0,1) \in \mathbb{C}. Exprimați ∑k=0nzk\sum_{k=0}^{n} z^k în funcție de întregul pozitiv nn.
Vezi toate problemele de Progresii Geometrice →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Progresii Geometrice cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.