MediuNumere ComplexeClasa 11

Problemă rezolvată de Numere Complexe

MediuNumere ComplexeGeometrie AnaliticăȘiruri de numere reale
Să se demonstreze că dacă z1,z2,z3z_1, z_2, z_3 sunt numere complexe cu ∣z1∣=∣z2∣=∣z3∣=1|z_1| = |z_2| = |z_3| = 1 și z1+z2+z3=0z_1 + z_2 + z_3 = 0, atunci punctele afixe ale acestor numere sunt vârfurile unui triunghi echilateral înscris în cercul unitate.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Scriem zk=cos⁡θk+isin⁡θkz_k = \cos \theta_k + i \sin \theta_k pentru k=1,2,3k=1,2,3, unde θk∈[0,2π)\theta_k \in [0, 2\pi).
23 puncte
Din z1+z2+z3=0z_1 + z_2 + z_3 = 0, obținem ∑k=13cos⁡θk=0\sum_{k=1}^3 \cos \theta_k = 0 și ∑k=13sin⁡θk=0\sum_{k=1}^3 \sin \theta_k = 0.
33 puncte
Folosim faptul că ∣zk∣=1|z_k|=1 implică zk‾=1/zk\overline{z_k} = 1/z_k. Calculăm z1z2+z2z3+z3z1=z1z2z3‾(z1+z2+z3)=0z_1 z_2 + z_2 z_3 + z_3 z_1 = \overline{z_1 z_2 z_3} (z_1 + z_2 + z_3) = 0, deoarece z1+z2+z3=0z_1 + z_2 + z_3 = 0.
42 puncte
Din z1z2+z2z3+z3z1=0z_1 z_2 + z_2 z_3 + z_3 z_1 = 0 și ∣zk∣=1|z_k|=1, folosind proprietăți trigonometrice, deducem că cos⁡(θ1−θ2)=cos⁡(θ2−θ3)=cos⁡(θ3−θ1)=−1/2\cos(\theta_1 - \theta_2) = \cos(\theta_2 - \theta_3) = \cos(\theta_3 - \theta_1) = -1/2, deci unghiurile diferă cu 120∘120^\circ. Astfel, punctele afixe formează un triunghi echilateral înscris în cercul unitate.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Numere Complexe

Mediu#1Numere ComplexeInele și corpuri
Fie mulțimea K={a+bi∣a,b∈Q}K = \{ a + bi \mid a, b \in \mathbb{Q} \}. Arătați că KK este un corp în raport cu adunarea și înmulțirea numerelor complexe. Determinați toate elementele x∈Kx \in K care satisfac x2=−1x^2 = -1.
Greu#2Numere Complexe
Fie z1,z2∈Cz_1, z_2 \in \mathbb{C} astfel încât ∣z1∣=∣z2∣=1|z_1| = |z_2| = 1 și z1+z2=1z_1 + z_2 = 1. a) Demonstrați că z1⋅z2=1z_1 \cdot z_2 = 1. b) Determinați z1z_1 și z2z_2 în forma trigonometrică. c) Calculați (z1z2)2024+(z2z1)2024\left( \frac{z_1}{z_2} \right)^{2024} + \left( \frac{z_2}{z_1} \right)^{2024}.
Greu#3Numere Complexe
Fie z∈Cz \in \mathbb{C} astfel încât ∣z∣=1|z| = 1 și arg⁡(z)∈(0,π2)\arg(z) \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right). a) Demonstrați că ∣1+z∣2+∣1−z∣2=4|1+z|^2 + |1-z|^2 = 4. b) Determinați locul geometric al punctelor M(z)M(z) pentru care ∣1+z∣=2|1+z| = \sqrt{2}. c) Calculați aria maximă a triunghiului cu vârfurile în punctele afixelor 00, zz, și 1z\frac{1}{z}.
Greu#4Numere Complexe
Fie A=(i1−1−i)A = \begin{pmatrix} i & 1 \\ -1 & -i \end{pmatrix}, unde i2=−1i^2 = -1. a) Calculați A2A^2 și A3A^3. b) Demonstrați că An=in−1AA^n = i^{n-1} A pentru orice n≥1n \geq 1 întreg. c) Determinați det⁡(A2025+A2024)\det(A^{2025} + A^{2024}).
Vezi toate problemele de Numere Complexe →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Numere Complexe cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.