MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieNumere Complexe
Pe mulțimea C\mathbb{C} a numerelor complexe, definim operația ∗* prin z∗w=z+w−izwz * w = z + w - i z w, unde ii este unitatea imaginară. Studiați dacă operația este asociativă și comutativă. Determinați dacă există un element neutru și, în caz afirmativ, găsiți-l.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Verificăm comutativitatea: z∗w=z+w−izw=w+z−iwz=w∗zz * w = z + w - i z w = w + z - i w z = w * z, deoarece înmulțirea numerelor complexe este comutativă, deci operația este comutativă.
24 puncte
Verificăm asociativitatea: (z∗w)∗u=(z+w−izw)∗u=z+w+u−izw−izu−iwu+i2zwu(z * w) * u = (z + w - i z w) * u = z + w + u - i z w - i z u - i w u + i^2 z w u. Cum i2=−1i^2 = -1, avem (z∗w)∗u=z+w+u−i(zw+zu+wu)−zwu(z * w) * u = z + w + u - i(z w + z u + w u) - z w u. Similar, z∗(w∗u)=z∗(w+u−iwu)=z+w+u−iwu−izw−izu+i2zwu=z+w+u−i(wu+zw+zu)−zwuz * (w * u) = z * (w + u - i w u) = z + w + u - i w u - i z w - i z u + i^2 z w u = z + w + u - i(w u + z w + z u) - z w u. Cele două expresii sunt egale, deci operația este asociativă.
33 puncte
Căutăm elementul neutru ee: z∗e=zz * e = z implică z+e−ize=zz + e - i z e = z, deci e(1−iz)=0e(1 - i z) = 0. Pentru ca aceasta să fie adevărată pentru orice zz, avem e=0e=0. Verificăm: z∗0=z+0−iz⋅0=zz * 0 = z + 0 - i z \cdot 0 = z și 0∗z=0+z−i⋅0⋅z=z0 * z = 0 + z - i \cdot 0 \cdot z = z, deci elementul neutru este e=0e=0.
41 punct
Concluzie: Operația este comutativă și asociativă, iar elementul neutru este 00.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.