MediuMatriciClasa 11

Problemă rezolvată de Matrici

MediuMatriciInducție matematicăPolinoame
Fie matricea B=(1201)B = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}. a) Calculați B2B^2, B3B^3 și deduceți o formulă pentru BnB^n, unde n∈N∗n \in \mathbb{N}^*. b) Demonstrați prin inducție matematică formula găsită. c) Determinați polinomul f(x)=x2−2x+1f(x) = x^2 - 2x + 1 și calculați f(B)f(B). d) Rezolvați ecuația matriceală B⋅X=(3503)B \cdot X = \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}, unde XX este o matrice de tip 2×22 \times 2.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Calculul puterilor și formularea. B2=(1201)(1201)=(1401)B^2 = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, B3=B2⋅B=(1401)(1201)=(1601)B^3 = B^2 \cdot B = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 6 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}. Se observă că Bn=(12n01)B^n = \begin{pmatrix} 1 & 2n \\ 0 & 1 \end{pmatrix}. \n
23 puncte
Demonstrația prin inducție. Pentru n=1n=1, B1=(1201)B^1 = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, adevărat. Presupunem adevărat pentru n=kn=k: Bk=(12k01)B^k = \begin{pmatrix} 1 & 2k \\ 0 & 1 \end{pmatrix}. Atunci Bk+1=Bk⋅B=(12k01)(1201)=(12k+201)=(12(k+1)01)B^{k+1} = B^k \cdot B = \begin{pmatrix} 1 & 2k \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2k+2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2(k+1) \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, deci formula este adevărată pentru n=k+1n=k+1. \n
32 puncte
Calculul f(B)f(B). f(B)=B2−2B+I2=(1401)−2(1201)+(1001)=(1−2+14−4+00−0+01−2+1)=(0000)f(B) = B^2 - 2B + I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} - 2\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1-2+1 & 4-4+0 \\ 0-0+0 & 1-2+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}. \n
42 puncte
Rezolvarea ecuației matriceale. Din B⋅X=CB \cdot X = C, cu C=(3503)C = \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}, și det⁡B=1≠0\det B = 1 \neq 0, atunci X=B−1⋅CX = B^{-1} \cdot C. B−1=(1−201)B^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, deci X=(1−201)(3503)=(3−103)X = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Matrici

Mediu#1MatriciInele și corpuri
Fie mulțimea M={aI2+bJ∣a,b∈R}M = \{ aI_2 + bJ \mid a, b \in \mathbb{R} \} unde I2I_2 este matricea identitate de ordin 2 și J=(01−10)J = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}. Arătați că MM cu adunarea și înmulțirea matricelor formează un inel comutativ. Determinați dacă este un corp și, dacă nu, găsiți elementele inversabile.
Mediu#2MatriciInele și corpuri
Fie M={(ab0c)∣a,b,c∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix} \mid a, b, c \in \mathbb{R} \right\} mulțimea matricelor triunghiulare superioare de ordinul 2. Se definește operația de adunare ca adunarea obișnuită a matricelor și operația de înmulțire ca înmulțirea obișnuită a matricelor. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel. Dacă da, este el un corp? Justificați răspunsul.
Mediu#3MatriciInele și corpuri
Fie mulțimea M={(ab−ba)∣a,b∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix} \mid a, b \in \mathbb{R} \right\}. Arătați că (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un corp, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea matricelor. Apoi, rezolvați în acest corp ecuația X2=−IX^2 = -I, unde II este matricea identitate.
Mediu#4MatriciSisteme de Ecuații LiniareMatematică aplicată
Într-o uzină, se fabrică trei tipuri de piese: P1, P2 și P3. Timpii necesari (în minute) pentru fiecare piesă pe trei utilaje diferite sunt dați de matricea A=(5867496105)A = \begin{pmatrix} 5 & 8 & 6 \\ 7 & 4 & 9 \\ 6 & 10 & 5 \end{pmatrix}, unde rândul ii corespunde utilajului UiU_i și coloana jj piesei PjP_j. Dacă utilajele sunt disponibile timp de 120, 150 și 180 de minute respectiv, și se dorește utilizarea integrală a timpului, determinați câte piese de fiecare tip pot fi produse prin rezolvarea sistemului liniar folosind metoda matriceală. (Presupunem că numărul de piese este număr întreg pozitiv.)
Vezi toate problemele de Matrici →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Matrici cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.