MediuTrigonometrieClasa 10

Problemă rezolvată de Trigonometrie

MediuTrigonometrieNumere Complexe
Determinați toate numerele complexe zz care satisfac ecuația z3=8iz^3 = 8i. Exprimați soluțiile sub formă trigonometrică și apoi sub formă algebrică.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Scrieți numărul complex 8i8i în formă trigonometrică: 8i=8(cos⁡π2+isin⁡π2)8i = 8 \left( \cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2} \right).
23 puncte
Aplicați formula lui De Moivre: rădăcinile de ordinul 3 sunt zk=83(cos⁡π2+2kπ3+isin⁡π2+2kπ3)z_k = \sqrt[3]{8} \left( \cos \frac{\frac{\pi}{2} + 2k\pi}{3} + i \sin \frac{\frac{\pi}{2} + 2k\pi}{3} \right), pentru k=0,1,2k = 0, 1, 2.
33 puncte
Calculați valorile: z0=2(cos⁡π6+isin⁡π6)=2(32+i⋅12)=3+iz_0 = 2 \left( \cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6} \right) = 2 \left( \frac{\sqrt{3}}{2} + i \cdot \frac{1}{2} \right) = \sqrt{3} + i, z1=2(cos⁡5π6+isin⁡5π6)=2(−32+i⋅12)=−3+iz_1 = 2 \left( \cos \frac{5\pi}{6} + i \sin \frac{5\pi}{6} \right) = 2 \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} + i \cdot \frac{1}{2} \right) = -\sqrt{3} + i, z2=2(cos⁡3π2+isin⁡3π2)=2(0−i)=−2iz_2 = 2 \left( \cos \frac{3\pi}{2} + i \sin \frac{3\pi}{2} \right) = 2 \left( 0 - i \right) = -2i.
42 puncte
Soluțiile sunt z0=3+iz_0 = \sqrt{3} + i, z1=−3+iz_1 = -\sqrt{3} + i, z2=−2iz_2 = -2i.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Trigonometrie

Greu#1Trigonometrie
Fie a∈Ra \in \mathbb{R} un parametru real. Să se determine numărul de soluții ale ecuației sin⁡4x+cos⁡4x=a\sin^4 x + \cos^4 x = a în intervalul [0,2π][0, 2\pi], în funcție de aa. Discuție completă.
Greu#2Trigonometrie
Demonstrați identitatea: sin⁡3xsin⁡x−cos⁡3xcos⁡x=2\frac{\sin 3x}{\sin x} - \frac{\cos 3x}{\cos x} = 2, pentru x≠kπ2x \neq \frac{k\pi}{2}, k∈Zk \in \mathbb{Z}.
Greu#3Trigonometrie
În triunghiul ABCABC, cu AB=cAB = c, BC=aBC = a, CA=bCA = b, se cunosc sin⁡A=35\sin A = \frac{3}{5} și cos⁡B=513\cos B = \frac{5}{13}. Să se calculeze cos⁡C\cos C și aria triunghiului, știind că a=10a = 10.
Greu#4Trigonometrie
Să se rezolve ecuația 3sin⁡x+cos⁡x=2\sqrt{3}\sin x + \cos x = \sqrt{2}, cu condiția x∈[0,π]x \in [0, \pi] și să se afle soluțiile care satisfac tan⁡x>0\tan x > 0.
Vezi toate problemele de Trigonometrie →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Trigonometrie cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.